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1、第4章一阶逻辑基本概念离散数学中国地质大学本科生课程本章说明本章的主要内容一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑公式、解释及分类本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备引言命题逻辑能够解决的问题是有局限性的。只能进行命题间关系的推理，无法解决与命题的结构和成分有关的推理问题。例如(著名的苏格拉底三段论)（1）所有的人都是要死的；（2）苏格拉底是人。（3）苏格拉底是要死的。苏格拉底三段论P：所有的人都是要死的；Q：苏格拉底是人。R：苏格拉底是要死的。可见，P，Q，R为不同的命题，无法体现三者相互之间的联系。问题在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之
2、间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间。对此，命题逻辑将无能为力。本章内容在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。为了克服命题逻辑的局限性，就应该将命题逻辑再细分，分析出个体词、谓词和量词，这就是本节课要讲的一阶逻辑命题。4.1一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化的三个基本要素个体词谓词量词个体词及相关概念个体词一般是充当主语的名词或代词。说明个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。举例命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。命题：他是三好学生。个体词：他。个体常项：表示具体或特定的客体的个
3、体词，用小写字母a,b,c，…表示。个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表示。个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。可以是有穷集合，如{a,b,c},{1,2}。可以是无穷集合，如N,Z,R,…。全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成。个体词及相关概念本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用的个体域，都是使用的全总个体域。说明谓词及相关概念谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。(1)是无理数。是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号化为F()。(2)x是有理数。x是个体变项，“是有理数”是谓
4、词，记为G，命题符号化为G(x)。(3)小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H，命题符号化为H(a,b)，其中a：小王，b：小李。(4)x与y具有关系L。x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(1)、(2)、(3)中谓词F、G、H。谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写字母表示。如(4)中谓词L。n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命题变项的n元谓词。n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关
5、系P。0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。n元谓词是命题吗？不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代x1,x2,…,xn时，才能使n元谓词变为命题。思考谓词及相关概念更一般地P(x)：x是电子科技大学的学生。x：个体词P：谓词P(x):命题函数P(x)结论谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变更。如命题F(b,c)为“真”，但命题F(c,b)为“假”；一元谓词用以描述某一个个体的某种特性，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题；结论（续）具体命题的谓词表示形式和n元命题函数(n元
6、谓词)是不同的，前者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确定的。如上例中S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值；一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。例题例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。(1)只有2是素数，4才是素数。(2)如果5大于4，则4大于6.解：(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。命题符号化为0元谓词的蕴涵式F(b)→F(a)由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。(2)设二元谓词G(x,y)
7、:x大于y，a:4，b:5，c:6。命题符号化为0元谓词的蕴涵式G(b,a)→G(a,c)由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。例题将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.(1)设F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜Q(y)：y是古书，a：这只，b：那些符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)(2)设A(x)：x是书柜，B(x)：x是大的C(x)：x是红的，D(y)：y是古老的E(y)：y是图书，F(x,y)：x摆满了ya：这只b：那些符号化
