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1、高中数学三次函数的所有题型及解答总计由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(
2、4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.【例题1】：设函数，求函数的单调区间。解析：的定义域为R，,此时为的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。【变式1】：设函数，求函数的单调区间。解析：的定义域为R，14,此时为的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。【老吴帮你解后反思】：变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m，但是不影响函数的单调性。【变式2】：设函数，求函数的单调区间。解析：依题意可得当即时,恒成立,故,所以函数在上单调递增;当即时,有两个相异实根，且，故，此时为
3、的单调递增区间；，此时为的单调递减区间。综上可知，当时,函数在上单调递增;当时,单调递增，单调递减。【老吴帮你解后反思】：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交点个数，即二次方程的跟，所以要讨论的正负。【变式3】：设函数在（-，+）为单调函数，求m的取值范围。解析：依题意可得，所以。【老吴帮你解后反思】：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2函数求导后为含参数的二次函数，二次函数图像开口向上，所以只能满足（-，+）上14，所以要。【变式4】：设函数，求函数的单调区间。解析：依题意可得，令，，（1)m1,,即为单调递增
4、，为单调递减；（2）m=1,,即，所以函数在上单调递增;（3）m1,,即为单调递增，为单调递减；【老吴帮你解后反思】：由于m的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为m=1,m>1,m<1,【变式2】因为不能因式分解，不能确定方程有根无根，所以要讨论的正负。【变式5】：设函数，求函数的单调区间。解析：依题意可得，（1）m=0,,所以函数在单调递减，在单调递增；（2）m,=0,lm,,单调递减，单调递增；l
5、，，单调递增，单调递减；lm=1,,所以在R上为单调递增；l,,单调递增，单调递减；综上可知，m,单调递减，单调递增；14m=0,,单调递减，在单调递增；，单调递增，单调递减；m=1,所以在R上为单调递增；,,单调递增，单调递减；【老吴帮你解后反思】：这道题目与【变式4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界点为m=0，然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。【变式6】：设函数，求函数的单调区间。提示：求导后，分析二次函数的最高幂系数不确定，所以要讨论m与0的关系，在0的情况下，讨论的正负。【例题2】
6、：设函数，求的极值。解析：定义域为，依据题意可知，令，-13>00<00>0单调递增极大值单调递减极小值单调递增14附图：【例题3】：设函数，求在[0,4]的最值。解析：定义域为，依据题意可知，令，（舍）034<00>0单调递减极小值单调递增通过表格可以发现，最大值为，最小值【老吴帮你解后反思】：本题主要注意求出导数值为零点时，不在给定范围。附图：【变式1】：【2005高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解析：依据题意，，，（舍）14-2-12<0
7、0>0单调递减单调递增由表可知f(x)的最大值为=20，所以=-2.f(x)的最小值为=-7.附图：【变式2】：【2012高考北京文第19题改编】已知函数，。当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围。解析：依据题意，，，-3-12>00<00>0单调递增极大值单调递减极小值单调递增结合函数单调性可知，要使最大值为，必须使。【老吴帮你解后反思】：在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像（如下图),通过图像一目了然就可以观察出。14【例题4】：设函数，在[0,4]的满足恒成立，求c的取值范围。解析：定义域为，依据题意可知，令
8、，（舍）034<00>0单调递减极小值单调递增通过表格可以发现，最大值为，最小值在[0,4]的满足恒成立，必须使c1.【变
