不定积分的概念及其线性性质

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时间:2019-07-17

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1、例定义1:第一节不定积分的概念及其性质 一、原函数和不定积分的概念原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1)原函数是否唯一?例(为任意常数)(2)若不唯一它们之间有什么联系?关于原函数的说明:(1)若F(x)是f(x)的一个原函数,则对于任意常数C,(2)若和都是的原函数,则(为任意常数)证(为任意常数)任意常数积分号被积函数不定积分的定义:被积表达式积分变量若是在区间I内的一个原函数,则例1求解解例2求例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为

2、显然,求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义,可知结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表(1)是常数);说明:例4求积分解根据积分公式(2)证等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)三、不定积分的性质例5求积分解解:原式例6.求解:原式=例8.求解:原式=例7.求例9求积分解解:原式=例10.求例11求积分解说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.解所求曲线方程为1.不定积分的概念•原函数与

3、不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质内容小结1.证明2.若提示:思考与练习是的原函数,则提示:已知3.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为4.若提示:5.求下列积分:解:6.求不定积分求A,B.解:等式两边对x求导,得7.已知练习题练习题答案

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