《中值定理应用》ppt课件

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1、第二章4微分中值定理及其应用(2)1三.微分中值定理应用举例例1证记(证明恒等式)证明2于是由推论1得即结论成立.又因例2(不等式的证明)3证(这里证明不等式,思路应是针对某个合适的辅助函数,应用中值定理,由等式过渡到不等式。)因为要证的结果等价于证令则f(x)在[b,a]上满足Lagrange定理条件,C[b,a]在(b,a)内可导,于是4使得从而得例3(方程根的讨论)有一个正根,若方程证明方程必有一个小于的正根.5证由于函数在[0,]上连续,在(0,)上可导,且则根据Rolle定理使即是的一个小于的

2、正根.6例4(有关等式的证明)设在闭区间[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,试证:在(a,b)内至少存在一点,使证法1(用Rolle定理证)—“常数k法”7要证的等式又可写为：记取辅助函数为：则在[a,b]上连续，在(a,b)上可导,且8因此使即亦即这就是所要的结论。9证法2(用Cauchy定理证)—由适当变形进一步10于是取辅助函数：则它们都在上连续，在内可导，且满足Cauchy定理的三个条件，所以立即可得，.从而得到11*证法3(用Lagrange定理证)——思考提示：用辅助函数四.L’Hospit

3、al法则此前，我们所遇到的极限绝大部分为不定式极限，事实上两个重要极限也属不定式极限。不定式极限有以下七类：121314通过以上分析可知，所有不定式极限最终归为两类：..所以,相应有两个定理,分别针对这两种情况,统称为L’Hospital法则。15定理4(L’Hospital法则)设16证由条件(1)，中值定理即有17对于情况,可以通过变量代换化为的情况而得出类似结论。于是同理可证若条件再强些,还可有18定理5设不证19书上P.131.-P.133例4.6——例4.9.使用L’Hospital法则,必须注意：使

4、用此法则，例如习题2.4—P.136.N.13.(1)并非所有的型不定式都可以20是否还是这两种不定式？能否还可以用“洛比达”法则？的复杂性后,再用法则.(2)若多次使用此法则,则需要每一步都得重新考察:(3)每次用法则前,应尽量先减少计算21例5解由条件要使则定有2223归纳地可得：24于是所求的n次多项式为：25最后这个例子的作法及结论具有一般性，其意义在用高次多项式去逼近一个函数的数学思想——这将是我们在下一节要介绍的主要内容。作业P.135-习题2.4(A)—思考:N.13,15-17;书面:(A)—N

5、.10(单),11,12,14；(B)—N.1—10.《接习题讨论课》26