A Brief Lecture Notes on Optimization for Microeconomic analysis 冯曲

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1、ABriefLectureNotesonOptimizationfor1MicroeconomicAnalysis冯曲复旦大学经济学院中国经济研究中心第一稿2003年1月一切匠心都归功于Dixit,Chiang,Takayama等杰出的前辈；所有的错误、遗漏为编者所有。他是个顽皮的孩子，不肯就安分的待在身旁；我们要做的是，不能让他的玩耍脱离我们的视线。1欢迎指出错误及评论。qufeng@fudan.edu.cn1目录A.最优规划问题…………………………………………………..………..3B.梯度向量…………………………………

2、………………………………3B.1.无约束极值问题…………………………………………………..3B.1.1向量的内积…………………………………………………4B.2.约束极值问题……………………………………………………..6B.2.1雅克比矩阵…………………………………………………8B.2.2隐函数定理…………………………………………………8B.2.3超平面………………………………………………………9C.等式约束极值的拉格朗日求解法……………………………………..10D.非线性规划问题的求解：库恩－塔克条件………………………….

3、.11E.二阶条件………………………………………………………………..14E.1无约束极值问题…………………………………………………14E.1.1泰勒展开…………………………………………………..14E.1.2二次型…………………………………………………….16E.2等式约束极值问题……………………………………………….17E.3不等式约束问题………………………………………………….21F.凹规划……………………………………………………………………22F.1.1凸集…………………………………………………………22F.1.2

4、凸函数………………………………………………………22F.1.3.凹函数………………………………………………………23F.2.凹规划……………………………………………………………..24F.3.拟凹函数、拟凸函数……………………………………………..25G.最优化问题的解…………………………………………………………28G.1.基本概念…………………………………………………………..28G.1.1紧集…………………………………………………………28G.1.2.函数的连续…………………………………………………28G.1.3韦氏定

5、理……………………………………………………28G.2.解的存在性和唯一性……………………………………………..29G.2.1.存在性定理…………………………………………………29G.2.2唯一性定理…………………………………………………30G.3分离……………………………………………………………….31H.比较静态分析……………………………………………………………33H.1.基本思想…………………………………………………………33H.2.一般方法……………………………………...……………………34I.包络定理………………

6、…………………………….…………………….36I.1.最大值函数…………………………………………………………36I.2.包络定理……………………………………………………………37I.3.拉格朗日乘子的含义………………………………………………39I.4.包络定理的应用……………………………………………………402A.最优规划问题：maxf(x)xs.t.g(x)=c这样一个规划问题可以用来表达一个在一定资源约束情况下的经济决策问题，其中f(x)称为目标函数，x为选择变量，g(x)为约束函数。如果用集合S＝{x

7、g(x)=c}

8、表示约束，则此规划问题可以看作是在集合S（可以看作是欧氏空间的一个子集，称为可行集）上选择一个点x（或向量），使得目标函数f(x)的值最大。如下图，在二维情形下，S表示可行集，f(x)=k表示目标函数的等值线，则上述规划问题就变成了在S中找一点，使得目标函数的等值线达到一个最高的位置。从这样的角度看规划问题，我们可以将研究的重点放在目标函数的性质和可行集的性质两个部分。x2Sgradff(x)=kx1图A.1B.梯度向量梯度gradf的概念一般和目标函数的等值线（面）的变化有关。我们分两种情况来从梯度的角度看最优化问题。B

9、.1.无约束极值问题：一维情况下：'df(x)=f(x)⋅dx此时，目标函数值的变化，是两部分的乘积，第一部分是导数，第二部分是x的微分，或者说是x的变化，可以取正也可以取负。若0f'(x)>，则可以取dx>0，使得df(x)>0，即通过点x的移动，可以使目标函数值增加；若f'(x)<0，则可以取dx<