影响了整个世界的新几何学（一）

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1、影响了整个世界的新几何学（一）起源于古希腊的几何学理念在两千多年以来一直贯穿在人类的思想中，不管是科学还是哲学，甚至政治和艺术都是几何学思想的结晶。但是，19世纪初，几何学却经历了一场革命：人们发现，空间不一定非得是古希腊数学家欧几里德描述的那样，还可以有完全不同的几何学。在本文中，我们就将看到这一革命性的认识是如何影响哲学、科学、文化和艺术的。欧几里德的世界 让我们先做一个实验吧：想象一个平面，上面有一条直线L和一个不在L上的点P。平面上有多少条线平行于直线L并经过点P？ 有多少条线经过点P并平行于直线L？ 如果你的答案是“显然只有一条”，那么你的直觉就是欧几里

2、德式的。欧几里德也相信经过直线外一点只可能有一条直线与已知直线平行（欧几里得“证明”了该命题，但它实际上是不能由欧几里得几何中的其他公理和定理导出的，只能作为欧几里德几何系统中的第五条公设，欧几里得公设如下面的方框中所示）。欧几里德公设 1任意两点必定可以用一条直线连接。 2一条有限直线可以无限延长。 3以任一点为圆心，任一长度为半径可以作一个圆。 4所有直角彼此相等。 5如果一条直线与两条直线相交，同一侧的内角之和小于两个直角，则两条直线在无限延长后，在该侧相交。（这条公设与“过直线外一点只可能有一条直线与已知直线平行”互相等价，可以证明。）但是如果你考虑在一个

3、不是平面的表面上的线呢？下图展示了一个称为“双曲抛物面”的鞍形面： 该模型上绘制的线是抛物面的“直线”：它们是点间距离最短的路径。但是请注意，红线和黄线都平行于蓝线，而它们都经同一个点。更重要的是，蓝色和黄色的平行线并非与平面上的平行线一样处处距离相等。 事实证明，双曲抛物面上也可以形成一个完全合理、自洽的几何空间。原来空间可以不必符合欧几里得的描述（以及我们的直觉感知）——这种认识对于19世纪的数学家和思想家来说实在是太革命性了，以至于大数学家高斯发现了该事实，却从未鼓起勇气发表关于这个问题的工作。但后来黎曼（BernhardRiemann）等数学家纷纷揭示，除

4、了上面提到的双曲抛物面以外，还存在着许多非欧空间。 那么，这一认识对人类思想有何重大影响呢？ 空间的哲学 一旦你开始考虑空间的性质，你不可避免地会遇到这个问题：空间到底是什么？它是一种东西吗？它是一种物质吗？甚至，它是真实存在的吗？哲学家康德说空间存在于我们心中：我们在构建一个几何结构时，重要的不是画在纸上的图形，而是我们在思维空间中所看到的它们。我们在思维空间中构建我们的认知，而这样的思维空间对对于所有人来说都有着相同的特性。康德的空间是欧几里德式的。很难想象要如何在一个非欧空间中构建我们的认知，那么，或许非欧空间不像欧式空间一样真实。 但是，物理学家亥姆霍兹（

5、HermannvonHelmholtz）却认为，非欧空间和欧式空间一样真实。例如，我们都见过凸面镜（汽车的后视镜就是凸面镜），凸面镜中的镜像就是一个三维非欧空间。看下图，你会注意到超市货架的顶边和底边的平行线并不总是相隔同样的距离。我们可以在这样一个空间中构建我们的认知吗？如果你已经会熟练使用你车上的后视镜，答案就是“可以”。  你可能说镜中的像只是一个幻象，只有我们自己所在的欧几里德式世界才是真实的。但是你真的确定吗？虽然凸面镜中的人看起来比他们实际上要小，但是如果将一把尺子放在他们旁边，尺子上的读数也会相应变小，镜中的测量与他们在我们的世界中的测量仍能保持一致

6、，说不定镜中的人同样会坚持只有镜中世界才是真实的呢。很难反驳——正如亥姆霍兹所说，你无法进行任何几何实验来解决究竟哪一个世界是真实世界的问题。 所以，与康德相反，亥姆霍兹认为几何的公设既不是由人类智慧所决定的，也不是由逻辑必然性决定的。他认为，空间是否是欧几里德空间，只是一个经验问题。 法国数学家庞加莱（HenriPoincaré）的观点则更为激进：他也认为新的几何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍兹。如果如亥姆霍兹所言，几何来自经验，几何就不是一门精确的科学。庞加莱知道我们的脑海中不只有一种空间，因此，几何的公设不是一种人造的先验直觉（如康德所说），也

7、不是实验事实（如亥姆霍兹所说），更不必是不证自明的真理（如以前的思想家笛卡尔和数学家拉格朗日所说）。庞加莱认为，几何公设只是惯例（conventions）。 那么，我们应该如何决定采用哪种惯例呢？是选欧几里德几何，还是新的非欧几何？庞加莱说我们可以根据经验来选择，但只要避免矛盾，选择哪种几何在根本上是自由的。“欧几里德几何是正确的吗？这个问题是没有意义的，就好像问公制单位是不是正确的，旧的度量衡是不是错误的一样。一种几何不会比另一种几何更‘正确’，只会更方便。”这是观念的一种革命性变化：数学不再完全符合现实，我们可以自己选择想要的数学模型，只要它们能将我们想要它做

8、的事做得最