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1、专业引领共成长预初课程数的整除知识精讲一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除
2、性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b11/11专业引领共成长预初课程与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如
3、果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；当两个整数和，被除的余数为时（商为整数），则称被整除或整除，也把叫作的倍数，叫作的约数；如果被除所得的余数不为，则称不能被整除，或不整除．经典例题【例1】某数被除，商是，余数是，则某数等于。【分析】【例2】是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方框内先后填入个数字，得到个四位数，依次能被、、整除。”问：数学老师在方框中先后填入的个数字之和是多少？【分析】因为，所以，，；因为，所以，；因为，所以，因
4、为，所以，11/11专业引领共成长预初课程；所以数学老师在方框中先后填入的个数字之和是。【例3】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【解析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（
5、2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．【例4】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.【解析】把□□元作为整数□□分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为，(8，9).所以□□，□□.□□，根据能被8整除的数的特征，8
6、79□，通过计算个位的□.又□，根据能被9整除的数的特征，(□)，显然前面的□应是3.所以这笔帐笔记本的单价是：(元).【例5】11/11专业
7、引领共成长预初课程在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【解析】方法一：设补上数字后的六位数是，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和是3的倍数；第二：末两位数字组成的两位数是4的倍数；第三：末位数字是0或5。由以上条件，4
8、，且只能取0或5，又能被4整除的数的个位数不可能是5，∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。又3
9、，且（8+6+5）除以3余1，∴除以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取，。∴要求的六位数是865020。方法二：利用试除法，由于要求最小数，用进行试除分别被3
10、、4、5整除，就是被整除，，所以能被整除∴要求的六位数是865020。【例6】要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分别是多少？【解析】分解为互质的几个数的乘积，分别考虑所以能被4整除,从而只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，应尽可能小，先取，又，所以是9的倍数所以，时，取得最小值.【例7】一个六位数能被整除，那么的值为多少？【分析】，所以，如果能被8整除，那么的值为0或8，而各位数数字之和为9的倍数，
