《经济数学》-第三章中值定理及导数的应用

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1、3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值3.4导数在经济中的应用结束第3章中值定理、导数应用定理1设函数满足下列条件(3)(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导;则在内至少存在一点，3.1.1罗尔定理ab使得则在区间内至少存在(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；定理2设函数满足下列条件一点，使得3.1.2拉格朗日中值定理例：设在处连续，，且，则=22.在开区间内可导，1.在闭区间上连续；定理3Cauchy中值定理则在区间内定有点使得3.1.3柯西中值定理设函数与满足如下条件：如果在某极限过程下,函数f(x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把的极限称为

2、未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：3.2洛必达法则1．型不定式2．　型不定式．3．其它型不定式定理1设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：存在或为1．型未定式．（为任意实数）例1求解例2求解例3求解此定理的结论对于时型未定式同样适用。例4求解2．　型不定式．的某空心邻域内有定义，且满足如下条件与在该邻域内都存在，且则定理2设函数与在点3．其它型不定式未定式除和型外，还有型、型、等五种类型。型、型、型、型或者型型：变为例8求解型:通分相减变为型例9求（型）解3.3函数的单调性与极值定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)

3、内可导，则：1.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调增加2.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调减少。abab3.3.1函数的单调性及判别法例2确定函数的单调区间.可导，且等号只在x=0成立.解因为所给函数在区间上连续，在内例1判定函数在区间上的单调性.所以函数在区间上单调增加.解所以当x=-1,x=1时x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f´(x)+0-0+f(x)反之，如果对此邻域内任一点，恒有则称为函数的一个极小值，称为极小值点。3.3.2函数的极值定义设函数在点的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的一个

4、极大值点；函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。定理3（极值第一判别法）：设函数在点的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导（1）如果当时，而当时，则在取得极大值。（）如图所示：在，在，在取得极大值。（2）如果当时，而当时，则在取得极小值。（）如图所示：在，在，在取得极小值。（3）如果在两侧的符号不变，则不是的极值点，如图示（）(4)利用定理3,判断

5、(2)中的点是否为极值点,如果是求极值点的步骤：(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出,求出使的点及不存在的点;讨论在每个区间的符号;(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.例4求函数的单调区间和极值.解函数的定义域为令,得驻点这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下极大值极小值3.3.3函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者最小的就是函数在区间上的最小值。连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值和;1.区间2.区间内使　　　　的

6、点处的函数值；内使不存在的点处的函数值。3.区间这些值中最大的就是函数在上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间如下几类点的函数值得到：3.4导数在经济中的应用3.4.1函数的变化率——边际函数定义1设函数在点处可导，边际函数值。其含义为:当时,x改变一个单位，相在点处的导数称为在点处的相应地y约改变　　个单位．为的边际函数。称导函数当时,实际上，解,所以,在时的边际函数值。,试求例1设函数边际成本是总成本的变化率。设C为总成本，下面介绍几个常见的边际函数:1．边际成本为固定成本，则有为可变成本，为平均成本，为边际成本，为产量，总成本函数平均成本函数边际成本函数例2已知

7、某商品的成本函数为,求当时的总成本，平均成本及边际成本。解由令得边际成本于是当时总成本平均成本Q为多少时，平均成本最小?例3在例1中，当产量解所以,当Q=20时平均成本最小。2．收益平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，为平均收益，为边际收益，则有需求函数总收益函数平均收益函数边际收益函数需求与