人教版高中数学1.3.1第1课时函数的单调性

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1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性一、增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2.(1)增函数:当x1f(x2)思考:在增函数和减函数定义中,能否把“任意x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”?提示:不能.如函数y

2、=x2,虽然f(2)>f(-1),但函数y=x2在定义域上不是增函数.二、函数的单调性及单调区间增函数或减函数(严格的)单调性单调区间判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.()(2)对于函数f(x)=

3、x

4、,由于f(2)>f(-1),故该函数在定义域内是增函数.()(3)函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).()提示:(1)错误,如函数y=在定义域上不是单调函数.(2)错误,函数f(x)=

5、x

6、在(-∞,0]上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.(3)正确

7、,由于函数f(x)为R上的减函数,-3<3,故f(-3)>f(3).答案:(1)×(2)×(3)√【知识点拨】1.增函数、减函数定义的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.(2)定义中的x1,x2有以下三个特征:①任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;②有大小;③属于同一个单调区间.(3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化.2.从三方面正确理解单调函数(1)有些

8、函数在定义域上是单调的,如函数y=x.有些却只在定义域内的子区间上单调,如y=x2在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数.还有不单调的函数,如y=3.(2)函数在定义域的某几个子区间上都具有相同的单调性,也不一定在定义域上是单调的.如f(x)=有两个减区间(-∞,0)和(0,+∞),但在定义域上不是单调的.(3)注意定义域是否含有端点值.例如,y=x2的减区间为(-∞,0)也可以写成(-∞,0],但f(x)=的减区间只能写成(-∞,0)和(0,+∞).3.增减函数与图象升降的关系若函数f(x)在区间D

9、上是增函数,则f(x)的图象在D上是上升的;若函数f(x)在区间D上是减函数,则f(x)的图象在D上是下降的,反之亦然.类型一函数单调性的判定或证明【典型例题】1.f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是_____(填“增函数”或“减函数”).2.证明函数f(x)=x+在(0,1]上是减函数.【解题探究】1.判断一个函数在某一区间上是单调函数的依据是什么?2.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么?探究提示:1.判断一个函数在某一区间上是增函数还是减函数,可利用增函数与减函数的定义,除了利用定

10、义判断外,还可以通过图象来判断.2.由提示1可知利用定义来证明.关键的步骤是作差后的变形及符号的判定,同时它们也是证明时容易出错的关键位置.【解析】1.方法一:设x1,x2为(-∞,+∞)上的任意两个实数且x10,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是减函数.方法二:函数的图象如图所示:由图象可知f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是减函数.答案:减函

11、数2.任取x1,x2∈(0,1]且x10,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x+在(0,1]上是减函数.【拓展提升】1.判断函数单调性常用的方法(1)定义法:一般按照取值、作差变形、判断符号、得出结论这样的顺序进行.(2)图象法:作出函数图象,由图象上升或下降判断出单调性.2.定义法判断或证明函数单调性的四个步骤【变式训练】证明函数f(x)=x2+2在(-∞,0)上是减函数.【解析】设x1,x2为(-∞

12、,0)上的任意两个实数且x10,即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x2+2在(-∞,0)上是减函数.类型二求函数的单调区间【典型例题】1.f(x)=-2x2+4x-3的增

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