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1、6.3微分和积分数值微分有限差分1．求元素之差函数diff()格式一：A=diff(x)功能：计算x中相邻元素之间的差值或近似导数。如果x为向量，则返回一个比x少一个元素的向量，其元素值为[x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，…，x(n)-x(n-1)]；如果x为矩阵，则返回一个列间差值的矩阵：[x(2:n,:)-x(1:n-1,:)]。格式二：A=diff(x,n)功能：使用diff函数递归n次，计算第n阶差值。例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。2021/7/191第6章数值计算功能例6-21使用diff函数求数值微分。解：在命令窗口中输入如下命令，并按Ent
2、er键确认。>>h=.002;>>x=0:h:pi;>>diff(sin(x.^2))/h;%isanapproximationto2*cos(x.^2).*x>>>X=[6,9,3,4,0;5,4,1,2,5;6,7,7,8,0;7,8,9,10,0]X=693405412567780789100A=diff(X)A=-1-5-2-251366-511220>B=diff(X,2)B=2888-100-2-4-452021/7/192第6章数值计算功能2．求数值梯度函数gradient()两变量函数F(x,y)的梯度定义为对N个变量函数F(x,y,z,…)其梯度为梯度可看作指向F增加
3、方向的向量集。格式一：Fx=gradient(F)功能：F为一向量，返回F的一维数值梯度，Fx与一致，表示x方向的差分。格式二：[Fx,Fy]=gradient(F)功能：F为一矩阵，返回二维数值梯度的x和y分量。Fx与表示x(列)方向的差分Fy与一致，表示y(行)方向的差分。每个方向点间距离设为1。2021/7/193第6章数值计算功能函数的数值积分数值积分实际是计算函数曲线下的面积，即定积分基本思想是将整个积分区域划分为若干子区间。矩形求积函数cumsumcumsum(x)对向量x，返回一个向量，该向量的第N个元素是x的前N个元素的和>>x1=[12345678]x1=123456
4、7>>cumsum(x1)ans=1361015212836>>x2=[123;456;789]x2=123456789>>cumsum(x2)ans=1235791215182021/7/194第6章数值计算功能>>x=0:0.1:10;>>y=sin(x);>>z=cumsum(y)*0.1;>>plot(x,y,'r-',x,z,'k*')>>例6-25使用cumsum函数求函数sin(x)在[0,10]区间内的积分。2021/7/195第6章数值计算功能--trapz函数(梯形求积)格式一：T=trapz(Y)功能：以单位间隔，采用计算若干梯形面积的和来计算某函数的近似积分。如
5、果Y为向量，计算Y的积分；如果Y是矩阵，得一个每列积分的行向量；如果Y为多维数组，则沿第一个非单元素维计算。格式二：T=trapz(X,Y)功能：用梯形积分法，依据X计算Y的积分。如果X为矢量，则Y必须是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且数组Y第一非单元素维长度为length(X)，则在该维中计算。例6-26trapz函数采用梯形求积法来求解积分。>>X=[123456789]X=123456789>>Z1=trapz(X)Z1=40Cumsum函数对向量求积分时返回一个向量（不定积分），Trapz函数返回一个数值（定积分）2021/7/196第6章数值计算功能--自适应法(Simp
6、son法)低阶数值积分函数quad格式一：q=quad(‘fun’,a,b)功能：采用自适应的Simpson积分方法，返回函数‘fun’在上限a和下限b之间的数值积分。当给定一个输入值向量，‘fun’必须返回一个输出向量。函数‘fun’可以是函数名、函数句柄或字符串。格式二：q=quad(‘fud’,a,b,tol)功能：按指定绝对误差tol返回数值积分值,tol缺省值为1e-6。例6-27quad函数使用自适应法(Simpson法)来求解积分。函数先编制M文件如下。functionf=fun1(x)f=x.^2./(1+sin(x)+x.^2);end将该M文件以fun1.m为函数名
7、保存。继续在命令窗口中输入如下命令，并按Enter键确认。>>quad('fun1',0,1)ans=0.2301>>2021/7/197第6章数值计算功能--高阶自适应法(Newton-Cotes法)高阶quad8函数默认相对误差为1e-3例6-28quad8函数使用自适应法(Simpson法)来求解积分。函数先编写M文件如下。functionf=fun2(x)f=x.^2./exp(-x);end在命令窗口中输入如下命令，并按Enter键确
