考点：指数、对数、幂函数-2019-2020学年浙江高考数学学业水平测试之考点（解析版）

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1、考点04　指数、对数、幂函数考点梳理1．指数函数(1)指数与指数幂的运算①根式：如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝

2、a

3、＝.②零指数幂：a0＝1(a≠0)；分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．③无理数指数幂：aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算

4、性质也同样适用于无理数指数幂的运算．④实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(c)：ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr.注意：a.分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．b．运用公式进行变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误．c．代数式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视．d．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值．(2)指数函数及其性质①指数函数的概念一般

5、地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.②指数函数的图象与性质函数名称指数函数定义函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数定义域(－∞，＋∞)值域(0，＋∞)图象a＞10＜a＜1单调性,在(－∞，＋∞)上是增函数,在(－∞，＋∞)上是减函数函数值的变化情况,ax,ax图象特征,ax＞0，图象位于x轴上方；a0＝1，图象都经过(0，1)点　　2.对数函数(1)对数与对数运算①概念：如果ax＝N(a>0，a≠1)，数x就叫做以a为底N为真数的对数，记为logaN＝x，其中a叫做底数，N叫做真数．②常用对数

6、：以10为底的对数叫做常用对数，log10N通常写成lgN.自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，logeN通常写成lnN.③对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)④对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)，且logab·logba＝1；loganbm＝logab.(2)对数函数及其性质①对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

7、域为(0，＋∞)．②对数函数的图象和性质函数名称对数函数定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数定义域(0，＋∞)值域(－∞，＋∞)图象a＞10＜a＜1单调性,在(0，＋∞)上是增函数,在(0，＋∞)上是减函数函数值的变化情况,logax,logax图象特征,x＞0，图象位于y轴右方；loga1＝0，图象都经过(1，0)点　　③指数函数与对数函数的关系：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．3．幂函数(y＝x，y＝x2，y＝x，y＝x－1，y＝x3)(1)定义：函数y＝xα叫做幂函数

8、，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象：(3)幂函数的性质：过公共点(1，1).例题讲解【例1】函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为(　　)A.B.C.D.【解析】因为函数f(x)＝ln(x－3)，所以x－3>0，x>3，故选C.【变式训练】(2017.4浙江)函数y＝3x的值域为(　　)A．(0，＋∞)B．（-∞，0）C.(0，1]D．(0，3]【答案】A　【分析】∵x∈R，∴3x>0，即函数y＝3x的值域为(0，＋∞)，故选A.【例2】设函数f(x)＝x，g(x)＝x，其中e为自然对数

9、的底数，则(　　)A．对于任意函数x恒有f(x)≥g(x)B．存在正实数x使得f(x)>g(x)C．对于任意函数x恒有f(x)≤g(x)D．存在正实数x使得f(x)0，g(x)＝x>0，＝＝x＝2x，∵0时，>1，g(x)>f(x)，故选D.【变式训练】设函数f(x)＝2x＋a.若函数f(x)的图像过点(3，18)，则a的值为____________．【答案】10　【分析】函数f(x)的图像过点(3，18)，则18＝23＋a，则a＝10.【

10、例3】函数f(x)＝loga

11、x－t

12、(a>1且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)A．t＝1，01C．t＝2，