分式方程、无理方程及应用题解析训练

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1、分式方程、无理方程及应用题解析训练【例题精选】例1：解方程1、2、分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号．解：1、两边同乘以(x+1)(x－1)解得：解：2、变形为两边平方解得经检验：x=1是增根，原方程解为x=0．说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的

2、带入去检验，如方程（2）中，当x=1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了．例2：用换元法解方程：分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如何换元，将根式内化简，．而另一根号为，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．解：原方程变形为设原方程变形为6经检验x=3是原方程的根．说明：特别注意求出y值后没有求完，而要再求x值．例3：用换元法解方程：分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样

3、可变为有理方程，再去解．解：原方程中设　　原方程变形为经检验，是原方程的解．例4：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，在距A地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B地，乙到A地后，立即返回，两人又在距B地4千米的地方相遇，求A、B两地间距离．分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未

4、知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．解：设A、B两地距离为x千米，甲速为a千米/小时，乙速为b千米/小时．6由题意整理为6经检验x=0不合题意舍去，x=17是原方程的解．6答：A、B两地间距离为17米．例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？分析：可设每次倒出药液为x升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次倒出药x升，剩药20－x，浓度为，第二次倒出药，剩药，此时浓度为，这样

5、就找到了等量关系．解：由题意　　　　　　经检验x1=30不合题意舍去，∴x=10是原方程的解．答：每次倒出药液为10升．说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种

6、，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率=利息，要按照题意，找到相应的等量关系．解：设这种存款的年利率为x，由题意　　　　　　　　答：这种存款的年利率为10%．说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米

7、．分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A、B中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B地后乙还需30分钟才能到A就是等量关系，这样就可以列出方程了．解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+1)千米．6由题意　　　　　　　　解得：经检验都是原来分式方程的解，但x=－5不合题意舍去．∴x=4是原方程的解．答：乙每小时走4千米．【综合练习】一、选择题：1．下列方程中有解的是（）．A．B．

8、C．D．2．的解的情况为（）．A．无解　B．x=－3或x=2　　　C．x=3D．x=－23．用换元法解方程，若设，则原方程可化为（）．A．B．C．D．4．方程根的个数是（）．A．0B．1C．2D．45．无理方程的解为（）．A．无实根　B．x1=－1,x2=3　　C．+3　　D．－1二、解答题：1．解分式方程．2．求当产生增根时，m的值．3．解方程．4．用换元法解分式方程．5．解方程．6．解方程．7．用换元法解方程．8．要完成一件工程，甲独作