《保障与安全数论》ppt课件

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1、数论导引1素数和数的互素除数(因子)的概念：设z为所有全体整数构成的集合，若b≠0且使得a=mb,此时称b整除a.记为b∣a,还称b为a的除数(因子).注:若a=mb+r且01被称为素数是指p的因子仅有1,-1,p,-p。定义：若a•xmodn=1，则称a与x对于模n互为逆元。用Euclid算法求乘法逆元若a和n互素，则a在模n下有逆元。1算术基本定理：任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达式a＝P1α1P2α2…Ptαt，这里P

2、1>P2>P3>…>Pt是素数，其中αi>0最大公约数：若a,b,c∈z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正整数d称为a和b的最大公约数，如果它满足d是a和b的公约数。对a和b的任何一个公约数c有c∣d。注：1*.等价的定义形式是：gcd（a,b）＝max{k∣k∣a，k∣b}2*．若gcd（a,b）=1，称a与b是互素的。2模算术全体整数Z构成的集合对整数的加法和乘法的两种运算是封闭的且满足算术运算的所有定律，此时我们称整数集合z为整数环。整数环z对除法运算不封闭。带余除法：a∈z>0，可

3、找出两个唯一确定的整数q和r,使a=qm+r,0<=r

4、)则b≡a（modm）如果a≡b(modm）,b≡c（modm）则a≡c(modm)于是，全体整数集合z可按模m（m>1）分成一些两两不交的等价类。3*.整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0,mk+1,mk+2,…mk+(m-1);k∈z，每一个算一类，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。Z模12的标准剩余系为：[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]自反性对

5、称性传递性44*.对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那样相加相减和相乘（可交换的、可结合的、可分配的）而且，简化运算每个中间结果的模n运算，其作用与先进行全部运算，然后再简化模n运算是一样的。(1)[a(modm)±b(modm)]modm=(a±b)(modm)(2)[a(modm)b(modm)]modm=ab(modm)(3))[(ab)(modm)]+[(ac)(modm)]modm=(a(b+c))(modm)例1152mod12=(3*3)mod12=9例2通过同余式演算证明

6、560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。解：注意53=125≡13(mod56)于是有56≡169≡1(mod56)对同余式的两边同时升到10次幂，即有56∣560-1。5注意26=64≡-30(mod47),于是223=(26)3·25=(26·26)26·25≡900·(-30)·(32)mod(47)≡(7)(-30)·(32)(mod47)≡(-30)·(224)(mod47)≡(-30)·(36)(mod47)≡(-1080)(mod47)≡1(mod47)于是有47∣223-1求11

7、7(mod13)，112=121≡4(mod13)，114≡42≡3(mod13)，117≡1143≡2(mod13)6定理：(消去率)对于ab≡ac（modm）来说，若(a,m)＝1则b≡c(modm)5*.一次同余方程ax≡b(modm)这个方程有没有解，相当于问有没有那样一个整数x，使得对于某个整数y来说，有ax+my=b定理：如记(a,m)=d,则同余方程ax≡b(modm)有解的充分必要条件是d∣b。当这个条件满足时，恰有d个模m同余类中的整数是上述方程的解。证明：略。（从ax+my=b入

8、手）76*.整数环z模正整数m得到的剩余类集合可以记为zm(或z/(m))zm={[0],[1],…,[m-1]}在4中已说明zm对剩余类的加法，乘法是封闭的，可列出它们的加乘表。我们称zm为剩余类环（或同余类环）7*.在整数环z中是没有零因子的，即两个非零整数的乘积一定不等于0，但是剩余环则不然。例z12中：[3]*[4]=[12]=[0]说明，zm中的元素可分为两类，一类是零因子，即若α∈zm,α≠[0]存在β∈zm且β≠[0]，有α*