傅立叶变换的性质证明

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1、§3.4傅立叶变换的性质若则其中，a,b均为常数。说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。一、线性性质例:若，则二、时移性质说明:信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应。应用：要使信号f(t)经过系统传输之后延时t0，则必须设计成使系统的每一个频率分量都滞后相位ωt0，否则会引起失真。例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为F0(ω)，则二、时移性质因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。由时移性质可知三脉冲函数f(t)的频谱函数F(ω)为二、时移性质若，则三、频移性质说明:信号在时域中乘以，实际上是将信号在频域当中将整个频

2、谱沿频率轴右移ω0个单位。频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选取为正弦信号或。三、频移性质若，为任意实常数，则四、尺度变换性质当a=－1时，有说明:信号在时域中压缩（a>1）等效于在频域中扩展信号在时域中扩展（a<1）等效于在频域中压缩。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。物理意义:信号的波形压缩a倍，则信号随时间变化加快a倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展a倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。四、尺度变换性质如

3、果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：即四、尺度变换性质延时t0尺度变换a延时t0尺度变换a尺度变换a延时t0/a尺度变换a延时t0/a或若f(t)是实函数五、共轭对称性说明：对实时间信号，信号的幅频为偶对称，相频为奇对称，傅立叶变换的实部为偶对称，虚部为奇对称。其中则若f(t)为实偶函数，即f(t)=f(−t)，此时则F(ω)＝R(ω)必为ω的实偶函数。五、共轭对称性其中是的复共轭。若f(t)为实奇函数，即f(t)=−f(−t)，此时则F(ω)＝jX(ω)必为ω的虚奇函数。对任意信号f(t)，若则有若，则六、正反变换的对称性根据傅立叶反变换即有所以得亦即证明:若为实偶函数，

4、则六、正反变换的对称性说明:若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则形状为F(ω)的波形对应傅立叶变换就是2πf(−t)。若f(t)是实偶函数，则时域与频域完全对称。六、正反变换的对称性例:求取样信号的频谱。解：此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为E，宽度为τ的对称矩形脉冲的频谱为根据傅立叶变换的对称性，有上式中，令，E=1，则有若七、时域卷积性质由时移性质得所以证明：则即八、频域卷积性质令得若所以证明：则频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。若,则九、时域微分性质证明：由傅立叶反变换两边对时间变量t求导得推

5、广：对高阶导数情况，有说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。若，则十、时域积分性质证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时域卷积性质有如果f(t)的积分为零，即则所以有解：f(t)可表示为十、时域积分性质例：已知三角脉冲信号如图所示，求它的频谱F(ω)对其求一阶、二阶导数得十、时域积分性质图(a)可以看作是(c)积分两次得到，所以利用积分性质可得：解：f(t)可表示为十、时域积分性质例：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱F(ω)对其求导数得根据矩形脉冲频谱及时移性质知道的频谱为因为所以十、时域积分性质若，则十一、频域微分性质证明：对

6、右边求导得推广：频域微分性质的应用：十一、频域微分性质若十二、频域积分性质因为利用对称性则