《线性第十一讲》ppt课件

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1、第十一讲矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义:在m×n矩阵A中,任取k行k列(k≤m,k≤n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.显然,m×n矩阵A的k阶子式共有个.1、矩阵的k阶子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子式概念辨析:k阶子式、余子式、代数余子式定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).矩阵A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.规定:零矩阵的秩等于零.2、矩阵的秩说明:1)如果

2、矩阵A中所有r+1阶子式都等于零,则所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也都等于零.2)若矩阵A中有某个s阶子式不等于零,则R(A)≥s;若矩阵A中所有t阶子式等于零,则R(A)

3、A

4、.当

5、A

6、≠0时,R(A)=n;可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.当

7、A

8、=0时,R(A)

9、A

10、,而且

11、A

12、=0,因此R(A)=2.例:求矩阵A和B的秩,其中解(续):B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,因此其4阶子式全为零.以非零

13、行的第一个非零元为对角元的3阶子式,因此R(B)=3.结论:行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.二、矩阵的秩的计算例:求矩阵A的秩,其中.分析:在A中,2阶子式.A的3阶子式共有(个),要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的.一般的矩阵,当行数和列数较高时,按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等?定理:若A~B,则R(A)=R(B).应用:根据这一定理,为求矩阵的秩,只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.例:求矩阵的秩,并求A的一个最高

14、阶非零子式.解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵有3个非零行,故R(A)=3.第二步求A的最高阶非零子式.选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列.R(A0)=3,计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式.分析:对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设B的行阶梯形矩阵为,则就是A的行阶梯形矩阵,因此可从中同时看出R(A)及R(B).例:设,求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩.解:R(A)=2R(B)=3三、矩阵的秩的性质若A为m×n矩阵,则0≤R(A)≤min(m,n).R(AT)=R(A).若A~B,则

15、R(A)=R(B).若P、Q可逆,则R(PAQ)=R(B).max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B).特别地,当B=b为非零列向量时,有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1.R(A+B)≤R(A)+R(B).R(AB)≤min{R(A),R(B)}.若Am×nBn×l=O,则R(A)+R(B)≤n.作业:习题三:10(1,3),12

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