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1、7.3线性变换和矩阵一、内容分布7.3.1线性变换的矩阵7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不同基下的矩阵----相似矩阵二、教学目的:1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基的矩阵为Ａ的线性变换．2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标．3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵.三、重点难点:线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵.7.3.1线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基令………………………………………设n阶
2、矩阵A叫做线性变换σ关于基的矩阵.显然,A的第j列就是σ(αj)关于基的坐标.上面的表达常常写出更方便的形式:(1)由此可知:取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换σ，都有唯一确定的n阶矩阵A与之对应．这样一来，从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对应关系----映射，不妨记为练习:教材P284---习题第1题7.3.2坐标变换设V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个基,ξ关于这个基的坐标是而σ(ξ)的坐标是问:和 之间有什么关系呢?设因为σ是线性变换，所以（2）将（1）代入（2）得最后，等式表明，的坐标所组成的列是综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1令
3、V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 的矩阵是如果V中向量ξ关于这个基的坐标是，而σ(ξ)的坐标是，那么例１例２在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令σ是将的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是的一个线性变换.我们有所以σ关于基的矩阵是设，它关于基的坐标是,而的坐标是.那么例3令Ｖ是数域Ｆ上一个n维向量空间，是Ｖ的一个位似，那么 关于Ｖ任意基的矩阵是特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．7.3.3矩阵唯一确定线性变换引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间， 是V的一个基，那么对于V中任意n个向量
4、，有且仅有V的一个线性变换σ，使得:证设是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ：我们证明，σ是V的一个线性变换。设那么于是设那么这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条件：如果τ是V的一个线性变换，且那么对于任意从而■定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基，对于V的每一个线性变换σ，令σ关于基的矩阵A与它对应，这样就得到V的全体线性变换所成的集合L（V）到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射，并且如果,而，则(3) (4)证设线性变换σ关于基的矩阵是A。那么是的一个映射。是F上任意一个n阶矩阵。令由引理7.3.2，存在唯一的使反过来，
5、设显然σ关于基的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是的双射.设我们有由于σ是线性变换,所以因此所以στ关于基的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。□推论7.3.4设数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是.证设σ可逆。令关于所取定的基的矩阵是B。由（7），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I.所以AB=I.同理BA=I.所以注意到（5），可以看出同理所以σ有逆，而□反过来，设而A可逆。由定理7.3.3，有 于是我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:1.取
6、定n维向量空间V的一个基之后,在映射:之下,(作为向量空间)研究一个抽象的线性变换σ,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.2.我们知道,数域F上一个n维向量空间V同构于,V上的线性变换转化为上一个具体的变换:也就是说,线性变换都具有上述形式.引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同.为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。引例：设，且关于基{，}的矩阵为求 关于基 的矩阵．分析:本题不能直接用定义做,因的对应关系不清楚
7、,由定义是求B使B，又由题知，而与间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。解：设B，因，所以其中.于是所以设线性变换σ关于基的矩阵是A,σ关于基的矩阵是B,由基 到基的过渡矩阵T,于是有:定理7.3.57.3.4线性变换在不同基下的矩阵——相似矩阵(1)(2)(3)由(3)得比较两端,得证明:定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式 成立，那么就说B与A相似，记作：.n阶矩阵的相似关
