《线性微分方程》ppt课件

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1、第八讲线性微分方程(2)高等教育电子音像出版社宁波大学陶祥兴等编本节内容提要一、准备工作.二、指数矩阵的定义和性质.三、基解矩阵的计算公式.四、拉氏变换及应用.一、准备工作.在前面一讲中，除了基解矩阵，我们已经得到了线性微分方程组的通解表达式，对一般的齐线性微分方程组，我们还无法求基解矩阵，但对常数，齐线性微分方程组，我们可以求出它们的基解矩阵.我们将考虑形式为：的方程组，其中常数矩阵.为为了下面的需要，我们要定义矩阵函数的范数，收敛，一致收敛等.1.范数对于容易知道有下面的关系式：矩阵维向量和我们定义它们的范数为2.收敛向量序

2、列，称为收敛的，如果对每个数列矩阵序列的收敛类似.收敛，向量函数序列，其中称为在区间上收敛（一致收敛），如果对每个函数列是收敛的向量函数积数（一致收敛的）.称为在区间敛的（一致收敛的），如果其部分和是收敛的(一致收敛的）.上收而，则在内一致收敛.或则内一致收敛.与标量函数的情况类似，向量或矩阵形式的函数也有优级数定理，也就是说，如果二、指数矩阵的定义及性质现在我们可以考虑方程组首先我们来定义指数矩阵，其中是常系数的矩阵.有定义.若是阶的常数矩阵，指数矩阵定义为：其中为单位矩阵，规定.由优级数定理知对任意的常数矩阵，级数都是收敛的

3、，因此指数矩阵如果证明：这里用到了有下列性质可交换，即，则及二项展开公式.另一方面这里用到了绝对收敛级数的乘法公式及比较这两个结果可知结论成立.对任何矩阵证明：显然，存在，且与可以交换，因此如果证明：是非奇异的矩阵，则定理9:矩阵证明:是方程的基解矩阵,且.例1.如果则是一对角矩阵证明：事实上，这个方程组相当于例2解：显然个方程，试求与可以交换（因为）.注意到:三、基解矩阵的计算公式方程我们希望得到型如这个方程（的基解矩阵为,那么,如果计算呢？我们需要一些代数知识的解.其中常数和向量待定，则为未知量）有非零解的条件是我们引进下面

4、的定义假设这样，当是的常数矩阵，使得关于代数方程的线性具有非零解的常数称为的一个特征值，对应的称为对应于的特征向量.次多项式称为的特征多项式，次代数方程称为的特征方程.为的特征值，为对应的特征向量，的一个解.就是方程显然如果有个特征值.如果是的单根，则称简单特征根.如果是的重根，则称为重特征根.的特征值都是单根，由代数学知识知道，这些单根对应的特征向量是线性无关的，因此这个解实际上就构成了基解矩阵，而当这些特征根不全是单根时，基解矩阵相对复杂很多.例1求解:的基解矩阵.的所有特征向量为的所有特征向量为该基解矩阵是元素为复值的基解

5、矩阵,我们可以求出它的.设利用上述公式得假设是矩阵，是的不同的特征值，重数分别为，整个空间且对每个，的全体的解构成个维的子空间现在我们来讨论当计算方法.是任意矩阵时的例2求初值问题并求.解:综上所述，对任意，如果我们能够计算，就能够知道了，对，作分解，其中，则例3考察方程组解：首先考虑试求容易解得其次考虑解得则，其中是任意常数.，其中是任意常数.对，设其中因此分别令得到注意到的表达式前面有，我们有下面的定理计算得另外两种方法1.利用Jordan标准型计算.由高等代数知,任何矩阵都和一个Jordan标准型相似.即存在非退化矩阵使得

6、为Jordan块.为阶Jordan块.为的特征根.而2.美国数学月刊（1966）73卷第1期给出的一种方法其中为Cauchy问题的解.为的特征值,且不必相异.我们用该法求例3的.首先对特征值任意排序:,并求解Cauchy问题常系数线性方程解的渐近行为.前面我们具体的计算了解的表达式．正如下面的定性理论所说的那样，有时不一定或者求不出解，我们有下面的渐近行为：定理1:给定常系数线性微分方程.若.若若则:的所有特征值的实部是负的,则方程任一均有解的所有特征值的实部非负,且实部为零的特征值为简单特征值,则方程任一解在右半区间保持有界.

7、的特征值至少有一个具有正实部,则方程至少有一解使得.简证:据常系数线性微分方程组解的公式，任一解有形式为多项式,且考虑的任一分量取它的一特征向量.则为的解,且非齐常系数线性方程的常数变易公式求上式满足初始条件的特解,取则由常数变易公式得例4求解Cauchy问题解:由例1知据(*)得三、Laplace变换法及应用我们前面用拉氏变换解常系数高阶线性微分方程，其实也可以解方程组.为此要把拉氏变换推广到向量值的情形，定义考虑其中为常数矩阵，上的连续为维向量函数.我们有定理:如果存在常数的解及使得对充分大的成立，则初值问题及其导数满足（*

8、）类似的不等式，从而相应的Laplace变换存在.证明:存在充分大的使得推论:若对数值函数,存在常数和使得不等式的解及其直到阶导数均存在Laplace变换.对所有充分大的成立,则阶常系数线性方程初值问题例1利用Laplace变换求解初值问题解:写成分量形式取La