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高等数学第11章_微分方程习题详解

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第十一章 微分方程习题详解 1 第十一章 微分方程 习 题 11-1 1.判断下列方程是几阶微分方程? (1) 2 3 d tan3 sin1 d ?? ??? ?? ?? y yttt t ; (2)(76 )d()d0????xyxxyy; (3) 2 ()20???????x yyyx; (4) 42 2()0????????xyyx y. 解 微分方程中所出现的未知函数的导数(或微分)的最高阶数,叫做微分方程的阶.所 以有, (1)一阶微分方程; (2)一阶微分方程; (3)三阶微分方程; (4)三阶微分方程. 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)2 ?? xyy, 2 5?yx; (2)0 ??? ?yy,3sin4cos??yxx; (3)20??????yyy, 2 e? x yx; (4) 2 ()( )20??????????xyx yx yyyy,ln()?yxy. 解 (1)将10 ?? yx代入所给微分方程的左边,得左边 2 10?x,而右边=2 2 (5)x 2 10?x? 左边,所以 2 5?yx是2 ?? xyy的解. (2)将3cos4sin ?? ?yxx,3sin4cos ???? ?yxx代入所给微分方程的左边,得左边 ( 3sin4cos )(3sin4cos )0? ??????xxxx右边,所以3sin4 cos??yxx是所给微分方程 0 ??? ?yy的解. (3)将 2 e? x yx, 2 2 ee ?? ? xx yxx, 2 2e4 ee ??? ?? xxx yxx代入所给微分方程的左边,得 左边 222 (2e4 ee )2(2 ee )e2e0???????? xxxxxxx xxxxx(右边) , 所以 2 e? x yx不是所给微分方程20??????yyy的解. (4)对ln()?yxy的两边关于x求导,得 1? ?? ? y y xy , 即 ????xyyyxy. 再对x求导,得 2 ( )?????????????yyx yxyyyyxy, 即 2 ()()20??????????x yx yx yy yy, 所以ln()?yxy是所给微分方程 2 ()( )20??????????xyx yx yyyy的解. 3.确定下列各函数关系式中所含参数,使函数满足所给的初始条件. (1) 22 ??xyC, 0 5 ? ? x y; (2) 2 120 ()e,0 ? ??? x x yCC xy, 0 1 ? ?? x y. 解 (1)将0?x,5?y代入微分方程,得 22 0525????C 所以,所求函数为 22 25??yx. (2) 222 212122 e2()e(22)e ?? ????? xxx yCCC xCCC x,将 0 0 ? ? x y, 0 1 ? ?? x y分别代入 2 12 ()e?? x yCC x和 2 122 (22)e ?? ?? x yCCC x, 得 1 0?C, 2 1?C, 2 所以,所求函数为 2 e? x yx. 4.能否适当地选取常数?,使函数e?? x y成为方程90 ??? ?yy的解. 解 因为e?? ?? x y, 2 e?? ??? x y,所以为使函数e?? x y成为方程 90 ??? ?yy的解,只须 满足 2 e9e0 ?? ??? xx , 即 2 (9)e0 ? ??? x . 而e0 ? ? x ,因此必有 2 90???,即3??或3???,从而当3??,或3???时,函数 33 e ,e??? xx yy均为方程90 ??? ?yy的解. 5.消去下列各式中的任意常数 12 ,,C C C,写出相应的微分方程. (1) 2 yCxC??; (2)??tanyxxC??; (3) 12 ee xx xyCC ? ??; (4) 2 12 ()yCC x??. 解 注意到,含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程;含两个独立常 数的式子对应于二阶微分方程. (1)由 2 ??yCxC两边对x求导,得 ?? yC, 代入原关系式 2 yCxC??,得所求的微分方程为 2 ( ) ? ???yxyy. (2)由tan()??yxxC两边对x求导,得 2 tan()sec () ?? ???yxCxxC, 即 2 tan()tan () ?? ????yxCxxxC. 而tan()?? y xC x ,故所求的微分方程为 2 ?? ?? ?? ?? ?? yy yxx xx , 化简得 22 ?? ??xyyxy. (3)由 12 ee??? xx xyCC两边对x求导,得 12 ee????? xx yxyCC, 两边再对x求导,得 12 ee????????? xx yyxyCC, 这样便可得所求的微分方程为 2?????xyyxy. (4)由 2 12 ()??yCC x两边对x求导,得 12 2()????yCyC, 将 2 1 2 ()? ? yC C x 代入上式,并化简得 1 2 ?? ?xyyC, 对上式两边再对x求导,得 22??????yxyy, 故所求的微分方程为 20?????xyy. 第十一章 微分方程习题详解 3 习 题 11-2 1.求下列微分方程的通解或特解: (1)ln0xyyy ?? ?; (2)cos sinsin cos0xydxxydy??; (3) 2 2()yxyyy??????; (4)(1)d()d0xyxyxyy????; (5) 2 3yyxyx ?? ?, 0 1 x y ? ?; (6) 2 2 sin d(3)cos d0xy xxy y???, 1 6 x y ? ? ?. 解 (1)分离变量,得 11 dd ln ?yx yyx , 两端积分,得 ln(ln )lnln??yxC, 即 ln?yCx, 所以原方程的通解为 e? Cx y. 注 该等式中的x与C等本应写为||x与||C等, 去绝对值符号时会出现?号; 但这些?号 可认为含于最后答案的任意常数C中去了,这样书写简洁些,可避开绝对值与正负号的冗繁 讨论,使注意力集中到解法方面,本书都做这样的处理. (2)原方程分离变量,得 coscos dd sinsin ? ? yx yx yx , 两端积分,得 ln(sin )ln(sin )ln???yxC, 即 ln(sinsin )ln??yxC, 故原方程的通解为 sinsin??yxC. (3)原方程可化成 2 d (1)2 d ??? y xy x , 分离变量,得 2 12 dd 1 ? ? ? yx yx , 两端积分,得 1 2ln(1)?? ???xC y , 即 1 2ln(1) ? ?? y xC 是原方程的通解. (4)分离变量,得 dd 11 ?
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