高等数学第11章_微分方程习题详解

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1、第十一章微分方程习题详解第十一章微分方程习题11-11.判断下列方程是几阶微分方程?2dy3(1)ytant3sintt1;(2)(7x6)dyx(xyy)d0;dt242(3)xy()2yyx0;(4)xy2()yxy0.解微分方程中所出现的未知函数的导数(或微分)的最高阶数,叫做微分方程的阶.所以有,(1)一阶微分方程;(2)一阶微分方程;(3)三阶微分方程;(4)三阶微分方程.2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:2(1)xy2y,yx5;(2)yy0,y

2、3sinx4cosx;2x(3)y20yy,yxe;2(4)(xyxy)xy()yy2y0,yln()xy.222解(1)将yx10代入所给微分方程的左边,得左边10x,而右边=2(5x)10x2左边,所以yx5是xy2y的解.(2)将y3cosx4sinx,y3sinx4cosx代入所给微分方程的左边,得左边(3sinx4cos)(3sinxx4cos)0x右边,所以y3sinx4cosx是所给微分方程yy0的解.2xxx2xx2x(3)将yxe,

3、y2exxe,y2e4exxe代入所给微分方程的左边,得xx2xx2x2xx左边(2e4exxe)2(2exxe)xe2e0(右边),2x所以yxe不是所给微分方程y20yy的解.(4)对yln()xy的两边关于x求导,得1yy,xy即xyyyxy.再对x求导,得2yyxy()xyyyyxy,2即(xyxy)()xyyy2y,02所以yln()xy是所给微分方程(xyxy)xy()yy2y0的解.3.确定下列各函数

4、关系式中所含参数,使函数满足所给的初始条件.222x(1)xyC,y5;(2)y(CCx)e,y0,y1.x012x0x0解(1)将x0,y5代入微分方程,得22C052522所以,所求函数为yx25.2x2x2x(2)yCe2(CCx)e(2CC2Cx)e,将y0,y1分别代入212122x0x02x2xy(CCx)e和y(2CC2Cx)e,12122得C0,C1,1212x所以,所求函数为yxe.x4.能否适当地选取常数,使函数ye成为方程yy90

5、的解.x2xx解因为ye,ye,所以为使函数ye成为方程yy90的解,只须满足2xxe9e0,2x即(9)e0.x2而e0,因此必有90,即3或3,从而当3,或3时,函数33xxyye,e均为方程yy90的解.5.消去下列各式中的任意常数CCC,,,写出相应的微分方程.122(1)yCxC;(2)yxtanxC;xx2(3)xyCeeC;(4)()yCCx.1212解注意到,含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程;含两个

6、独立常数的式子对应于二阶微分方程.2(1)由yCxC两边对x求导,得yC,2代入原关系式yCxC,得所求的微分方程为2()yxyy.(2)由yxtan(xC)两边对x求导,得2ytan(xC)xsec(xC),即2ytan(xC)xxtan(xC).y而tan(xC),故所求的微分方程为x2yyyxx,xx化简得22xyyxy.xx(3)由xyCeeC两边对x求导,得12xxyxyCeeC,12两边再对x求导,得xxyyxyCeeC,

7、12这样便可得所求的微分方程为xy2yxy.2(4)由()yCCx两边对x求导,得122(yC)yC,122()yC1将C代入上式,并化简得2x2xyyC,1对上式两边再对x求导,得22yxyy,故所求的微分方程为20xyy.2第十一章微分方程习题详解习题11-21.求下列微分方程的通解或特解:(1)xyylny0;(2)cossinxydxsincosxydy0;2(3)yxy2(yy);(4)x(1yx)d(yxyy)d0;22(5)yy3xyx,y

8、1;(6)2sindxyx(x3)cosdyy0,y.x0x16解(1)分离变量,得11ddyx,ylnyx两端积分,得ln(ln)l

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