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分章精编---导数及其应用解答题一(完成93)

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《导数及其应用》三、计算题1.已知函数;(Ⅰ)当时,判断在定义域上的单调性;(Ⅱ)若在上的最小值为2,求的值;【解】(Ⅰ)由题意:的定义域为,且.,故在上是单调递增函数. (Ⅱ)由(1)可知:① 若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数, (舍去)② 若,则,即在上恒成立,此时在上为减函数, 所以, ③ 若,令得, 当时,在上为减函数, 当时,在上为增函数, 综上可知: 2.设函数,。(1)若,过两点和的中点作轴的垂线交曲线于点,求证:曲线在点处的切线过点;(2)若,当时恒成立,求实数的取值范围。【解】(1)由已知得,,即,由,得,曲线在点处的切线的斜率,方程为,当时,,故,所以点在切线上,即曲线在点处的切线过点。(2)当时,,,由,即,解得,或。 ,故 当,即时,在上,单调递增,故在上单调递增,所以当时,取得最大值依题意得,解得,此时; 当,即时,,在上,单调递增;在上,单调递减,所以当时,取得极大值,也是最大值,最大值为,依题意得,解得,此时。 综上所述得实数的取值范围为。3.已知向量,(其中实数和不同时为零),当时,有,当时,.(1) 求函数式;(2)求函数的单调递减区间;(3)若对,都有,求实数的取值范围.【解】(1)当时,由得,;(且)当时,由.得 ∴(2)当且时,由<0,解得,当时,∴函数的单调减区间为(-1,0)和(0,1)(3)对,都有即,也就是对恒成立, 由(2)知当时,∴函数在和都单调递增 又,当时,∴当时,同理可得,当时,有,综上所述得,对, 取得最大值2; ∴实数的取值范围为.4.已知函数()(1)求f(x)的单调区间; (2)证明:lnx<【解】(1)函数f(x)的定义域为,①当时,>0,f(x)在上递增.②当时,令得解得:,因(舍去),故在上<0,f(x)递减;在上,>0,f(x)递增.(2)由(1)知在内递减,在内递增.故,又因故,得5.已知实数,函数.(Ⅰ)若函数有极大值32,求实数的值;(Ⅱ)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.【解】(Ⅰ) 令得 ∴或 有极大值32,又 在时取得极大值 (Ⅱ)由知:当时,函数在上是增函数,在上是减函数此时, 又对,不等式恒成立 ∴得∴ 当时,函数在上是减函数,在上是增函数又,, 此时, 又对,不等式恒成立 ∴得 ∴ 故所求实数的取值范围是 6.已知函数.()(Ⅰ)当时,求在区间[1,e]上的最大值和最小值;(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围.【解】(Ⅰ)当时,,; 对于[1,e],有,∴在区间[1,e]上为增函数, ∴,.(Ⅱ)令,则的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数的图象恒在直线下方等价于在区间(1,+∞)上恒成立. ∵① 若,令,得极值点,,当,即时,在(,+∞)上有,此时在区间(,+∞)上是增函数,并且在该区间上有∈(,+∞),不合题意;当,即时,同理可知,在区间(1,+∞)上,有∈(,+∞),也不合题意;② 若,则有,此时在区间(1,+∞)上恒有,从而在区间(1,+∞)上是减函数;要使在此区间上恒成立,只须满足,由此求得的范围是[,].综合①②可知,当∈[,]时,函数的图象恒在直线下方.7.设为三次函数,且图像关于原点对称,当时, 的极小值为.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)证明:当时,函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.【解】(Ⅰ)设 其图像关于原点对称,即 得 ∴, 则有 由 , 依题意得 ∴ ① ② 由①②得 故所求的解析式为:. (Ⅱ)由解得:或 ∴时,函数单调递增;设是时,函数图像上任意两点,且,则有 ∴过这两点的直线的斜率. 8.已知,,(1)若f(x)在处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;(2)如右图所示,若函数的图象在连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在使得?(用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答)(3)利用(2)证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4. 【解】(1),………1分依题意,有,即 .,. 令得,从而f(x)的单调增区间为:;(2);(3),由(2)知,对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B,在A、B之间一定存在一点,使得,又,故有,证毕.9.已知函数,设.(Ⅰ)求在(0,3]内的最小值;(Ⅱ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.解.(Ⅰ) ), 则 ………1分 因为, 所以当时,对恒成立,故F(x)在(0,3)内单调递减,(2分 ),而F(x)在x=3处连续 , 所以 ………3分 当时,时,时,所以F(x)在内单调递减,在内单调递增。 所以 综上所述,当时,,当时,。(Ⅱ)若的图象与的图象恰有四个不同交点, 即有四个不同的根,亦即 有四个不同的根。 令,则。当变化时的变化情况如下表:(-1,0)(0,1)(1,)的符号+-+-的单调性↗↘↗↘由表格知:。画出草图和验证可知,当时,函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点. 10.已知函数,过该函数图象上任意一点(1)证明:图象上的点总在图象的上方; (2)若上恒成立,求实数的取值范围.解:(1),设为增,当,所以图象上的点总在图象的上方. (2)当.x(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)F‘(x)--0+F(x)减减e增①当x>0时,F(x)在x=1时有最小值e,.②当x<0时,F(x)为减函数,,.③当x=0时,∈R. 由①②③,恒成立的的范围是.ABCDOMFE11.如图,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分),边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离。工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若AB=1米,AD=0.5米,问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大?解:由条件易知,边缘线OM是以点D为焦点,直线AB为准线的抛物线的一部分。以O点为原点,AD所在直线为y轴建立直角坐标系,则,易求得边缘线OM所在抛物线yABCDOM
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