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导数的应用(一)

'导数的应用(一)'
导数的应用(一)一、课标要求1、结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 2、结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超多三次的多项式函数的极大值、极小值,以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最大值、最小值。3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 二、知识归纳1、导数应用的知识网络结构图:2、规律方法(1)求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤: i)求f′(x); ii)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0); iii)确认并指出递增区间(或递减区间)。 (2)求有导数的函数y=f(x)的极值的步骤: i)求导数f′(x); ii)求方程f′(x)=0的全部实根; iii)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值。(3)设y=f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内有导数,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: i)求f(x)在(a,b)内的极值; ii)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,确定f(x)的最大值与最小值。在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(单峰函数),那么,只要根据实际意义判定最值,不必再与端点的函数值作比较。三、例题精讲例1:讨论函数 的单调性.解:函数的定义域为 当x<0或x>1时, 故当x<0时, ;当x>1时, 当0<x<1时,故当0<x<1/2时, ;当1/2<x<1时,因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2)和(1,+∞)上是减函数.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值; (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:由题意得:故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.xy例3: 如图,在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2), 则A(x, 4x-x2).从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).因此当点B为 时,矩形的最大面积是四、习题精练1.设在[0,1]上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是( )A.f(0)<0 B.f(1)>0 C.f(1)>f(0) D.f(1)<f(0)分析:本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解:因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0,1)上是( )A. 单调增函数 B.单调减函数C.在(0,)上是减函数,在(,1)上是增函数D.在(0,)上是增函数,在(,1)上是减函数分析:本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解:y′=lnx+1,当y′>0时,解得x>.又x∈(0,1),∴<x<1时,函数y=xlnx为单调增函数.同理,由y′<0且x∈(0,1)得0<x<,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案:C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3-5x+1,则f′(x)是A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数分析:本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定 义域.解:∵f(x)=3x3-5x+1,∴f′(x)=9x2-5(x∈R). ∵f′(-x)=f′(x),∴f′(x)是偶函数.答案:B5.若函数y=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<分析:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解:对于可导函数而言,极值点是导数为零的点.因为函数在(0,1)内有极小值,所以极值点在(0,1)上.令y′=3x2-3b=0,得x2=b,显然b>0, ∴x=±.又∵x∈(0,1), ∴0<<1.∴0<b<1.答案:A6.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.解:设场地的长为x m,则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x2+8x,x∈(0,8).令S′=-2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案:167.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y=x+2,则点P的坐标是__________.分析:本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解:因直线y=x+2的斜率为k=, 又因y=lnx,所以y′==.所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程,得y=ln2. 所以点P的坐标是(2,ln2).答案:(2,ln2)8.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省?分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.解:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如
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