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2012届高三数学一轮复习第三章导数及其应用3-1

'2012届高三数学一轮复习第三章导数及其应用3-1'
第3章 第1节一、选择题1.(文)2010·瑞安中学)函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是(  )A.2           B.2xC.2+Δx D.2+Δx2[答案] C[解析] ==Δx+2.(理)二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在(  )A.第一象限       B.第二象限C.第三象限 D.第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a>0,b>0,则f(x)=a(x+)2-,顶点(-,-)在第三象限,故选C.2.(2010·江西文,4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f ′(1)=2,则f ′(-1)=(  )A.-1 B.-2C.2 D.0[答案] B[解析] f ′(x)=4ax3+2bx,f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b),f ′(1)=4a+2b,∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2要善于观察,故选B.[点评] 由f ′(x)=4ax3+2bx知,f ′(x)为奇函数,∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2.3.(2010·金华十校)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为(  )A.30° B.45°C.60° D.120°[答案] C[解析] 解法一:设B(x0,x03),则kOB=tan∠AOB=x02,∵AB=AO,∴∠BAx=2∠BOA,曲线y=x3在B处切线斜率kAB=3x02=tan∠BAx=tan2∠BOA=,∴x02=,∴kAB=,∴切线l倾斜角为60°.解法二:设B(x0,x03),由于y′=3x2,故曲线l的方程为y-x03=3x02(x-x0),令y=0得点A,由|OA|=|AB|得2=2+(x03-0)2,当x0=0时,题目中的三角形不存在,故得x04=,故x02=,直线l的斜率k=3x02=,故直线l的倾斜角为60°.4.已知f(x)=logax(a>1)的导函数是f ′(x),记A=f ′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f ′(a+1),则(  )A.A>B>C B.A>C>BC.B>A>C D.C>B>A[答案] A[解析] 记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于B=f(a+1)-f(a)=,表示直线MN的斜率,A=f ′(a)表示函数f(x)=logax在点M处的切线斜率;C=f ′(a+1)表示函数f(x)=logax在点N处的切线斜率.所以,A>B>C.5.设函数f(x)=sin-1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为3,则f(x)图象的一条对称轴方程是(  )A.x= B.x=C.x= D.x=[答案] A[解析] f ′(x)=ωcos的最大值为3,即ω=3,∴f(x)=sin-1.由3x+=+kπ得,x=+ (k∈Z).故A正确.6.(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y=f(x)的导函数f ′(x)的图象,则下面判断正确的是(  )A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x=4时,f(x)取极大值[答案] C[解析] 由图象可知,在区间(4,5)上,f ′(x)>0,∴f(x)在(4,5)上是增函数,故选C.(理)(2010·厦门三中,2011·吉林省实验中学模拟)如图,函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f ′(5)=(  )A. B.1C.2 D.0[答案] C[解析] 由条件知f ′(5)=-1,又在点P处切线方程为y-f(5)=-(x-5),∴y=-x+5+f(5),即y=-x+8,∴5+f(5)=8,∴f(5)=3,∴f(5)+f ′(5)=2.7.(文)(2010·广东汕头一中)函数f(x)=e2x的图象上的点到直线2x-y-4=0的距离的最小值是(  )A. B.C. D.[答案] B[解析] 设l为与直线2x-y-4=0平行的函数f(x)=e2x的图象的切线,切点为(x0,y0),则kl=f ′(x0)=2e2x0=2,∴x0=0,y0=1,∴切点(0,1)到直线2x-y-4=0的距离d==即为所求.(理)(2010·海南五校联考)点P是曲线x2-y-2ln=0上任意一点,则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是(  )A.(1-ln2) B.(1+ln2)C.(+ln2) D.(1+ln2)[答案] B[解析] 将直线4x+4y+1=0作平移后得直线l:4x+4y+b=0,直线l与曲线切于点P(x0,y0),由x2-y-2ln=0得y′=2x-,∴直线l的斜率k=2x0-=-1?x0=或x0=-1(舍去),∴P(,+ln2),所求的最小距离即为点P(,+ln2)到直线4x+4y+1=0的距离:d==(1+ln2).8.(文)(2010·广东检测)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(  )A.a<-1 B.a>-1C.a>- D.a<-[答案] A[解析] 由y′=(ex+ax)′=ex+a=0得,ex=-a,即x=ln(-a)>0?-a>1?a<-1.(理)若函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,则b的取值范围是(  )A.(-∞,1) B.(0,1)C.(1,+∞) D.(-1,0)[答案] B[解析] 因为f ′(x)=3x2-3b.令f ′(x)=0,得x=±,易知f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调增,在(-,)上单调减,因此函数f(x)在区间(0,1)内有极小值即∈(0,1),所以b∈(0,1).[点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化,导函数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势;同时导数也可以在解释函数性质的基础上,解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等;因此,导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点.9.(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y=tanx,x∈,当y′=2时,x等于(  )A. B.πC. D.[答案] C[解析] y′=(tanx)′=′===
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