2012届高三数学一轮复习第三章导数及其应用3-1

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1、第3章第1节一、选择题1．(文)2010·瑞安中学)函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是(　　)A．2　　　　　　　　　B．2xC．2＋ΔxD．2＋Δx2[答案]　C[解析]　＝＝Δx＋2.(理)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)A．第一象限　　　　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　C[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(

2、x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.2．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)A．－1B．－2C．2D．0[答案]　B[解析]　f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2要善于观察，故选B.[点评]　由f′(x)＝4ax3＋2bx知，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.3．(2010·金华十校)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，

3、则切线l的倾斜角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]　C[解析]　解法一：设B(x0，x03)，则kOB＝tan∠AOB＝x02，∵AB＝AO，∴∠BAx＝2∠BOA，曲线y＝x3在B处切线斜率kAB＝3x02＝tan∠BAx＝tan2∠BOA＝，∴x02＝，∴kAB＝，∴切线l倾斜角为60°.解法二：设B(x0，x03)，由于y′＝3x2，故曲线l的方程为y－x03＝3x02(x－x0)，令y＝0得点A，由

4、OA

5、＝

6、AB

7、得2＝2＋(x03－0)2，当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x04＝，故x02＝，直线l的斜率k＝3x02＝，

8、故直线l的倾斜角为60°.4．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则(　　)A．A>B>CB．A>C>BC．B>A>CD．C>B>A[答案]　A[解析]　记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.5．设函数f(x)＝sin－1(ω>0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x

9、)图象的一条对称轴方程是(　　)A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝[答案]　A[解析]　f′(x)＝ωcos的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin－1.由3x＋＝＋kπ得，x＝＋　(k∈Z)．故A正确．6．(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]　C[解析]　由图象可知，在区间(4,5)上，f′(x)>0，∴f(x)在(4,5)上是增函数，故选C.

10、(理)(2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)A.B．1C．2D．0[答案]　C[解析]　由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.7．(文)(2010·广东汕头一中)函数f(x)＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　设l为与直线2x－y－4＝0

11、平行的函数f(x)＝e2x的图象的切线，切点为(x0，y0)，则kl＝f′(x0)＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点(0,1)到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝即为所求．(理)(2010·海南五校联考)点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最小距离是(　　)A.(1－ln2)B.(1＋ln2)C.(＋ln2)D.(1＋ln2)[答案]　B[解析]　将直线4x＋4y＋1＝0作平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1⇒