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北京高中数学知识应用竞赛试题

'北京高中数学知识应用竞赛试题'
第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案试 题1、(满分20分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上,先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后,交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米,不足15米,B车的刹车距离超过11米,不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S(米)与车速x(千米/时)之间有如下关系: 如果仅仅考虑汽车的车速因素,哪辆车应负责任? 2.(满分20分)北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小晰蜴体长15cm,体重15g,问:当小晰蜴长到体长为20cm时,它的体重大约是多少(选择答案:20g,25g,35g,40g)?尝试用数学分析出合理的解答。3. (满分20分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表: 时刻水深(米)时刻水深(米)时刻水深(米)0:005.08:003.116:007.41:006.29:002.517:006.92:007.110:002.418:005.93:007.511:003.519:004.44:007.312:004.420:003.35:006.513:005.621:002.56:005.314:006.722:002.77:004.115:007.223:003.8(1)请在坐标纸上,根据表中的数据,用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?   4.(满分20分)2000年末,某商家迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾方式,即顾客在店内花钱满100元(这100元可以是现金,也可是奖励券,或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券,满300元,就送60元奖励券;...。当日,花钱最多的一顾客用现金70000元,如果按照酬宾方式,他最多能得到多少优惠呢?相当于商家打了几折销售?    5.(满分20分)某城市准备举行书画展览,为了保证展品安全,展览的保卫部门准备安排保安员值班。情况如下: ①展览大厅是长方形,内设均匀颁的m×n个长方形展区,如图所示(下图是一个3×4个展区的示意图)。在展厅中,展览的书画被挂在每个展区的外墙上,参观者在通道上浏览书画。② 保安员站在固定的位置上,不允许转身,只能监视他的左右两侧和正前方,形如“T”形的区域。且一个保安员的正前方不安排其它保安员。③ 不考虑保安员的轮岗、换班问题。④ 展口的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内。问题:(1)对于如上图所示的展厅中,最少需要几个保安员能使展品安全?在图中标明保安员的位置(不要求证明)。(2) 假如展要有n×m个展区,最少需要多少个保安员能使展品安全?请证明你的结论。竞赛参考答案   1.解法一: 由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式:    12<<15,   11<<12,分别求解这两个不等式,得  30<<<35,  12<<<<45.可见,A车无责任,B车应付责任。  解法二:如果==40km/h,则可以算得=20m,=10m。由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离=20m;而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离=10m。可见A车无责任,B车应付责任。2.解:假设小晰蜴从15cm长到20cm,体形是相似的。这时晰蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比。  记体长为l的晰蜴的体重为,因此有   合理的答案应该是35g。3.解:(1)描点作图,设x表示时间,y表示水深。   (2)由题目条件,水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全。为此在上图中做一条y=5.5的水平直线a。图象在a止方时,其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段,从图中可以看出,这个时间段约为0:30到5:40分,或13:00到18:20(有10分钟左右的偏差可以算对),在港口停留的时间大约为5小时。  也可以用线性插值方法,在已知点中,若相邻两点在直线a的异侧,设加在它们中间且过直线a的点与它们共线。于是  利用点(0,5)和(1,6.2),得=(5.5-5)/(6.2-5)=0.417,对应的时间为0:25;利用点(5,6.5)和(6,5.3),得=5.83,对应的时间为5:50。由此得到第一个满足条件的时间段约为0:25-5:50。  同理,利用点(12,4.4)和(13,5.6),得=12.92,对应的时间为12:55;利用点(18,5.9)和(19,4.4),得=18.27,对应的时间为18:16。由此得到第二个满足条件的时间段约为12:55-18:16。  (3)2:00时水深为7.1米,船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为:y=5.5-0.3(x-2);   其中2<x<5.83,此处利用了插值的结果。在上面的函数图象中画出该图象,看出与原图象的交点大约在7:00左右(有10分钟左右上午偏差可以算正确),故知在7:00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。  注: 此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插值,得y=-1.2x+12.5与y=5.5-0.(x-2),联立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值,得y=-x+11.1与y=5.5-0.3(x-2)联立可求得x=7,即7:00.这些做法与看图得到的结果一致。   4.解:购物价值=所用人民币值+优惠值,将最多购物价值记作。      按下列方法购物   第一次用现金购物70000元,获得奖励券70000×12%=14000(元);    第二次用现金购物14000元,获得奖励券14000×20%=2800(元);     第三次用现金购物2800元,获得奖励券2800×20%=560(元);     第四次用现金购物500元,获得奖励券500×20%=100(元);    第五次用现金购物100元,获得奖励券100×20%=20(元);    第六次用现金购物80元,获得奖励券80(60+20),获得奖励券0元。    至此,现金及奖励券全部用完
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