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4 导数及其应用(文)

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第四讲 导数及其应用(文)★★★高考在考什么【考题回放】1.(福建)已知对任意实数,有,且时,,则时( B )A. B.C. D.2.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A. B. C. D.3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为A A. B.C. D.4.函数,已知在时取得极值,则=(B)A.2 B.3 C.4 D.55.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则__.326.已知函数的图象在点处的切线方程是,则____.37.设a为实数,函数 (Ⅰ)求f(x)的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点.解:(I)=3-2-1若=0,则==-,=1当变化时,,变化情况如下表:(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)+0-0+极大值极小值∴f(x)的极大值是,极小值是(II)函数由此可知,取足够大的正数时,有f(x)>0,取足够小的负数时有f(x)<0,所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知:当f(x)的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。当f(x)的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。∴当∪(1,+∞)时,曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点★★★高考要考什么1. 导数的几何意义:(1) 函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率;(2)函数在点处的导数,就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度;2.求函数单调区间的步骤:1)、确定f(x)的定义域,2)、求导数y′,3)、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当y′<0时,f(x)在相应区间上是减函数3.求极值常按如下步骤:① 确定函数的定义域;② 求导数;③ 求方程=0的根及导数不存在的点,这些根或点也称为可能极值点;④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号,确定极值点。4.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值,(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。5.最值(或极值)点必在下列各种点之中:导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★ 突 破 重 难 点【范例1】已知函数在处取得极值. (1)讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点作曲线y= f(x)的切线,求此切线方程.(1)解:,依题意,,即 解得. ∴. 令,得.若,则,故f(x)在上是增函数,f(x)在上是增函数.若,则,故f(x)在上是减函数.所以,是极大值;是极小值.(2)解:曲线方程为,点不在曲线上.设切点为,则点M的坐标满足.因,故切线的方程为注意到点A(0,16)在切线上,有 化简得,解得.所以,切点为,切线方程为.【点晴】过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】(安徽文)设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式;(Ⅱ)诗论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解:(I)我们有 .由于,,故当时,达到其最小值,即. (II)我们有.列表如下:极大值极小值由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.【范例2】(湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.(I)求的最大值;(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.解:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,设两实根为(),则,且.于是,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.(II)解法一:由知在点处的切线的方程是,即,因为切线在点处空过的图象,所以在两边附近的函数值异号,则不是的极值点.而,且.若,则和都是的极值点.所以,即,又由,得,故.解法二:同解法一得.因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().当时,,当时,;或当时,,当时,.设,则当时,,当时,;或当时,,当时,.由知是的一个极值点,则,所以,又由,得,故.变式:(全国一文)设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.解:(Ⅰ),因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.
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