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第八章第2讲知能训练轻松闯关

'第八章第2讲知能训练轻松闯关'
1.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.解析:由题意得,点到直线的距离为=.又≤3,即|15-3a|≤15,解得,0≤a≤10,所以a∈[0,10].答案:[0,10]2.若直线l1:ax+2y=0和直线l2:2x+(a+1)y+1=0垂直,则实数a的值为________.解析:由2a+2(a+1)=0得a=-.答案:-3.直线l经过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且过点(5,1),则l的方程是________.解析:设l的方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)·x+(5-λ)y-24=0,则(7+λ)×5+5-λ-24=0.解得λ=-4.故l的方程为x+3y-8=0.答案:x+3y-8=04.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是________.解析:设对称点为(x′,y′),则解得x′=-b-1,y′=-a-1.答案:(-b-1,-a-1)5.与直线4x+3y-5=0平行,并且到它的距离等于3的直线方程是________.解析:设所求直线方程为4x+3y+m=0,由3=,得m=10或-20.故所求直线方程为4x+3y+10=0或4x+3y-20=0.答案:4x+3y+10=0或4x+3y-20=06.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的__________条件.解析:由a=1,可得l1∥l2;反之,由l1∥l2,可得a=1或a=-2.答案:充分不必要7.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是________.解析:d==≥.即最小值为.答案:8.曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是________.解析:曲线-=1的草图如图所示,与直线y=2x+m有两个交点,则m>4或m<-4.答案:m>4或m<-49.点P到点A(1,0)和直线x=-1的距离相等,且点P到直线y=x的距离为,这样的点P的个数是________.解析:因为点P到点A和定直线距离相等,所以P点轨迹为抛物线,方程为y2=4x.设P(t2,2t),则=,解得t1=1,t2=1+,t3=1-,故P点有三个.答案:310.在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后,再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是________.解析:如图,设点P关于直线AB,y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),由对称性知,D,M,N,C共线,则△PMN的周长=PM+MN+PN=DM+MN+NC=CD==2,2即为光线所经过的路程.答案:211.已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0,即a2-a-b=0.①又点(-3,-1)在l1上,所以-3a+b+4=0.②由①②得a=2,b=2. (2)因为l1∥l2,所以=1-a,b=,故l1和l2的方程可分别表示为:(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,又原点到l1与l2的距离相等.所以4=,所以a=2或a=,所以a=2,b=-2或a=,b=2.12.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使PA=PB,且点P到直线l的距离为2.解:设点P的坐标为(a,b).因为A(4,-3),B(2,-1),所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB的斜率kAB==-1,所以线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.因为点P(a,b)在直线x-y-5=0上,所以a-b-5=0.①又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,所以=2,即4a+3b-2=±10,②由①②联立可得或所以所求点P的坐标为(1,-4)或.1.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为________.解析:与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.答案:3x+4y+5=02.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是,-,则满足条件的直线l的条数为________.解析:由题可知,到A点距离为的点均在以A为圆心,为半径的圆O1上,到B点距离为-的点均在以B为圆心,-为半径的圆O2上,故直线l为⊙O1和⊙O2的公切线,而显然⊙O1,⊙O2外切,故公切线有3条.答案:33.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且PA=PB,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是________.解析:由PA=PB知点P在AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,所以直线PB的方程为x+y-7=0.答案:x+y-7=04.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,AD边分别在x轴,y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合,将矩形折叠,使A点落在线段DC上,若折痕所在直线的斜率为k(k≠0),则折痕所在直线的方程为________.解析:设将矩形折叠后A点落在线段CD上对应的点为G(a,1)(0<a≤2),所以A与G关于折痕所在的直线对称,设所求直线的斜率为k,则有kAG·k=-1,即·k=-1,得a=-k,故G点的坐标为(-k,1)(-2≤k<0),从而折痕所在的直线与AG的交点坐标为 ,折痕所在直线的方程为y-=k,即y=kx++(-2≤k<0).答案:y=kx+k2+(-2≤k<0)5.已知直线l1:x+a2y+1=0和直线l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).(1)若l1∥l2,求b的取值范围;(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.解:(1)因为l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0,即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-2+,因为a2≥0,所以b≤0.又因为a2+1≠3,所以b≠-6.故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].(2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,显然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.6.(选做题)如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,
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