高中数学解题思想方法技巧全集4__关羽开门__刀举成功

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1、第4关羽开门刀举成功●计名释义关羽不同于诸葛.诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀.“过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工.关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！●典例示范［例1］（2006年四川卷第19题）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；（Ⅱ

2、）求二面角P—AE—D的大小；（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.［分析］这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体.对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.［解Ⅰ］取D1C1的中点Q，过Q和MN作平面QRST.显然，M、N都在这平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.［插语］其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉.正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功.以后

3、的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.【例2】(04·重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.【分析】（Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证

4、OH

5、=

6、AB

7、.(2)证

8、OA

9、2+

10、OB

11、2=

12、AB

13、2（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.

14、【解答】（Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴

15、AB

16、=

17、y1-y2

18、=4p.显然，满足

19、OQ

20、=

21、AB

22、,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.此方程有不同二实根y1y2,∴y1+y2=,y1y2=-4p2.∵=x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.【分析】(

23、Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出

24、AB

25、2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出

26、AB

27、2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两

28、个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的

29、AB

30、函数式，只牵涉一个变量.【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则综上，

31、AB

32、min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.∴

33、

34、2=

35、=≥2x1x2+2p(x1+x2)≥2x1x2+4p.∵y1y2=-4p2,∴x1x2=于是

36、

37、2≥16p2,

38、

39、min=4p.当且仅

40、当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.●对应训练1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.(2)证明0

41、大小.●参考答案1.分析：(1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这种数列的求和方法是“错项相减”.(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.解答：(1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,即Sn=n2,∴an