高中数学 学案73坐标系与参数方程

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1、学案73 坐标系与参数方程导学目标:1.了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程,会进行参数方程与普通方程的互化,并能进行简单应用.自主梳理1.极坐标系的概念在平面上取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做________;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个____________.设M是平面上任一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的_______

2、_,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的________,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的__________,记作(ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=__________,y=__________.另一种关系为:ρ2=__________,tanθ=______________.3.简单曲线的极坐

3、标方程(1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么方程φ(ρ,θ)=0叫做曲线的________________________________________________________________________.(2)常见曲线的极坐标方程①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为

4、r

5、的圆;____________表示圆心在(r,)半径为

6、r

7、的圆;________表示圆心在极点

8、,半径为

9、r

10、的圆.②直线的极坐标方程________________表示过极点且与极轴成α角的直线;__________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;__________表示过(b,)且平行于极轴的直线;ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示过(ρ0,θ0)且与极轴成α角的直线方程.4.常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为这是直线的参数方程,其中参数l有明显的几何意义.(2)圆的参数方程若圆心在点M(a,b),半径为R,则

11、圆的参数方程为0≤α<2π.(3)椭圆的参数方程中心在坐标原点的椭圆+=1的参数方程为(φ为参数).(4)抛物线的参数方程抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为自我检测1.(教材改编题)点M的直角坐标为(-,-1),则它的极坐标为________.2.(原创题)在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)的位置关系为________.3.(2011·陕西)在直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1:(θ为参数)和曲线C2:ρ=1上,则

12、AB

13、的最小

14、值为________.4.(2011·广州一模)在极坐标中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.5.(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.探究点一 求曲线的极坐标方程例1在极坐标系中,以(,)为圆心,为半径的圆的方程为________.变式迁移1如图,求经过点A(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线l的极坐标方程

15、.探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M、N分别为C与x轴,y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.变式迁移2(2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ-)=,(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

16、探究点三 参数方程与普通方程的互化例3将下列参数方程化为普通方程:(1);(2);(3).变式迁移3化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图.(1)(θ为参数);(2)(t为参数).探究点四 参数方程与极坐标的综合应用例4求圆ρ=3cosθ被直线(t是参数)截得的弦长.变式迁移4(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的

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