高三数学第二轮复习教案(参数取值问题的题型与方法)

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1、第10讲参数取值问题的题型与方法(4课时)求参数的取值范围的问题,在中学数学里比比皆是,这一讲,我们分四个方面来探讨。一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1.已知当xR时,不等式a+cos2x<54sinx+恒成立,求实数a的取值范围。分析:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(xR),另一变量a的范围即为所求,故可考虑将a及x分离。解:原不等式即:4sinx+co

2、s2x3即>a+2上式等价于或,解得a<8.说明:注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解:a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],整

3、理得2t24t+4a+>0,(t[1,1])恒成立。设f(t)=2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[1,1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2.已知函数f(x)在定义域(,1]上是减函数,问是否存在实数k,使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立?并说明理由。分析:由单调性与定义域,原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立,这又等价于对于任意x∈R恒成立。不等式(1)对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1

4、≤k≤1----------(3)不等式(2)对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=,即k≤1或k≥2,-----------(4)由(3)、(4)求交集,得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明:抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。17例3.设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,试求的取值范围.分析:本题中,绝大多数同学不难得到:=,但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个

5、)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程xA=f(k),xB=g(k)得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB=—

6、(xA/xB)由判别式得出k的取值范围解1:当直线垂直于x轴时,可求得;当与x轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得,解之得因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.当时,,,17所以===.由,解得,所以,综上.思路2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后,解决问题的方

7、法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程xA+xB=f(k),xAxB=g(k)构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB=—(xA/xB)由判别式得出k的取值范围解2:设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得(*)则令,则,在(*)中,由判别式可得,17从而有,所以,解得.结合得.综上,.说明:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手,

8、给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4.(2003年江苏卷第11题、天津卷第10题)已知长方形四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).

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