高阶微分方程的降阶

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1、§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例12不显含自变量t的方程,一般形式:因为用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步

2、:解方程即得原方程的通解解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则因此(4.69)的通解为解题步骤:第一步:第二步:解之得即第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解这里由(4.70)得例3代入(4.2)得事实上若则即因此,对(4.67)仿以上做法,二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件

3、用级数表示解?定理10定理11例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得即因而也即故方程的解为例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且将(4.75)代入(4.74)中,得由(4.76)得即从而可得因此(4.77)变为若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为例6解代入方程得代回原来的变量得原方程的通解为作业P1652,5P1658,10