麦克斯韦速率分布函数

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1、麦克斯韦速率分布函数及其约化形式一、麦克斯韦速率分布函数f(v)=4[m/(2kT)]3/2exp[mv2/(2kT)]v2=4-1/2[m/(2kT)]3/2exp[mv2/(2kT)]v2.f(v)称为麦克斯韦速率分布函数，式中的T为气体的热力学温度，m为气体分子质量。二、麦克斯韦速率分布函数的约化形式令vp=(2kT/m)1/2，x=v/vp.f(v)dv=41/2[m/(2kT)]3/2exp[mv2/(2kT)]v2dv=41/2vp-3exp(v2/vp2)v2dv.f(v)d

2、v=41/2x2exp(x2)dx=F(x)dx.但要特别注意:F(x)=41/2x2exp(x2)f(v).三、速率分布函数类比质点运动中的时间分布函数类比法是一种在物理学研究中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面也可能相似或相同.为了描述处于平衡态下的气体的分子数在不同的速率间隔内的分布情况，可以取分子速率v为横坐标值，画出速率取值在v至v＋v间隔内的分子数N占总分子数N的比率的直方图（条形统计图）。条形的水平宽度为v，条形的面积为N/

3、N，因此，条形的竖直高度（纵坐标值）则为N/(Nv).显然，此高度与条形所在处速率的取值有关，是v的函数。为了更精确地描述气体分子的速率分布情况，令v0，此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而N/(Nv)dN/(Ndv)，它当然仍是速率v的函数，记为f(v)，即f(v)=dN/(Ndv).(1)这就是分子数对于速率的分布函数，或者称为速率分布函数；(1)式的图像就是速率分布曲线。f(v)表示在速率v附近的dv间隔内，平均每单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常

4、常就说f(v)表示在速率v附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。速率分布函数给出了气体分子数对于速率取值的分布情况的具体图像。与上述情况类似，质点在运动过程中的各个相同的时间间隔内所通过的路程往往并不相同。为了描述质点在运动过程中所通过的路程对于时间的分布情况的具体图像，则可以取时间为横坐标值，画出在t至t＋t间隔内质点运动所通过的路程S的直方图（条形统计图）。条形的水平宽度为t，条形的面积为S，因此，条形的竖直高度（纵坐标值）则为S/t，它就是质点在t至t＋t间隔内的平均速率。显然，此高度与条形所在

5、处时间的取值有关，是t的函数。为了更精确地描述质点运动的时间分布情况，令t0，此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而S/tdS/dt，它当然仍是时间t的函数，记为f(t)，即f(t)=dS/dt.(2)这就是质点在运动中所通过的路程对于时间的分布函数，或者称为时间分布函数；(2)式的图像就是时间分布曲线。f(t)表示在时间t附近的dt间隔内，平均每单位时间间隔内质点在运动中所通过的路程。有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常常就说f(t)表示在时间t附近的单位时间间隔内质点在运动中所通过的路程。时间分布

6、函数给出了质点在运动过程中所通过的路程对于时间的分布情况的具体图像。由此可见，f(t)其实就是质点运动在t时刻的瞬时速率，因而f(t)－t这条时间分布曲线正是力学中熟知的速率－时间曲线。通过以上的讨论可以看出，热学中的速率分布曲线与力学中质点运动的速率－时间曲线之间存在着颇为相似的情况。因此，如果在热学中学习速率分布函数时，类比力学中的速率－时间函数，就能够比较容易地认识到其物理意义。不仅如此，用f(v)类比f(t)，还利于正确理解为什么说“不应该问速率刚好等于特定值v的分子有多少个？如果非要这样问，那这种分子其实一个都没有

7、。”前已指出，质点在t时刻附近的t间隔内运动的平均速率为S/t，在dt间隔内运动的平均速率（也就是t时刻的瞬时速率）为dS/dt.但是我们不应该问在t时刻质点通过了多少路程，因为质点只有在经历了一定的时间间隔后才会通过一段路程；如果非要问在t时刻质点通过了多少路程，那只能说它通过的路程等于零。考虑到这种情况，就可以用f(v)类比f(t).既然f(v)表示在速率v附近的dv间隔内，平均每单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率，那我们同样也不应该问速率恰好等于特定值v的分子数占总分子数的比率是多少，因为此时速率间隔等于零；

8、如果非要问速率恰好等于v的分子数占总分子数的比率有多少，那就只能说这样的比率等于零。看来，把热学中的速率分布函数与力学中的速率－时间函数（即质点在运动中所通过的路程对于时间的分布函数）进行类比，确实有助于正确理解和掌握速率分布函数的概念，应该可以收到良好的效果。应该注意，类比推理是一种或然