高中数学复习学(教)案(第62讲)分类计数原理和分步计数

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1、高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞题目第十章排列、组台、二项式定理分类计数原理和分步计数原理高考要求　　1掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题2分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决知识点归纳1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步

2、有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”5原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法

3、原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第7页共7页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞两个原理的公式是:,这种变形还提醒人们

4、，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．题型讲解例1电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19

5、×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果点评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步例2从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解例中选出5个数组成子

6、集改为选出4个数呢?答案：C·24=80个例3某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种（以数字作答）解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126c

7、om第7页共7页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A×5=120答案：120点评：①解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法②较复杂的应用题，需确定或设计出完成事件的程序，依需要分类或分步（“类”与“类