对数函数与性质(学案)

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1、《对数函数及其性质》明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!学习目标:1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类很重要的函数模型;2.探索对数函数的单调性与特殊点,掌握对数函数的性质,会进行同底对数和不同底对数大小的比较;3.了解反函数的概念,知道指数函数与对数函数互为反函数.学习策略:在理解对数函数定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质,在学习过程中,要处处与指数函数相对照.知识回顾——复习指数函数图象及性质:y=ax01时图象图象性质(1)定义域,值域(,)(

2、2)a0=,即x=0时,y=,图象都经过(,)点(3)ax=a,即x=1时,y等于底数(4)在定义域上是单调函数(4)在定义域上是单调函数(5)x<0时,ax>x>0时,0时,ax>(6)既不是奇函数,也不是偶函数要点一:对数函数的概念1.函数叫做对数函数.其中是自变量,函数的定义域是.2.判断一个函数是对数函数是形如的形式,即必须满足以下条件:(1)系数为;(2)底数为的常数;(3)对数的真数仅有.要点诠释:(1)只有形如y=logax(a>0,a≠1)的函数才叫做对数函数

3、,像等函数,它们是由对数函数变化得到的,都不是对数函数.(2)求对数函数的定义域时应注意:①对数函数的真数要求,底数大于零且不等于1;②对含有字母的式子要注意.要点二:对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:值域:过定点,即x=1时,y=0在(0,+∞)上增函数在(0,+∞)上是减函数当0<x<1时,<0,当x≥1时,≥0当0<x<1时,>0,当x≥1时,≤0要点诠释:关于对数式logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习

4、时参考.以1为分界点,当a,N同侧时,logaN>0;当a,N异侧时,logaN<0.要点三:底数对对数函数图象的影响1.底数制约着图象的升降.如图要点诠释:由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性),因此在解与对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于1还是小于1,不要忽略.2.底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈轴;当0

5、得的也是一个函数(即对任意的一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数的,记作,在中,是自变量,是的函数,习惯上改写成()的形式.由定义可以看出,函数的定义域A正好是它的反函数的;函数的值域B正好是它的反函数的.要点诠释:并不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如.一般说来,单调函数有反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于对称.(2)若函数图象上有一点,则必在其反函数图象上,反之,若在反函数图象上,则必在原函数图象上.典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型

6、题目的规律和技巧,然后完成举一反三.类型一:对数函数的概念例1.下列函数中,哪些是对数函数?(1);(2)(3);(4);(5).【总结升华】                           类型二:对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.例2.求下列函数的定义域:(1);(2).【解析】由对数函数的定义知:,,解出不等式就可求出定义域.(1)(2)【总结升华】         

7、                   举一反三:【变式1】求下列函数的定义域.(1)y=(2).类型三:对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.例3.比较下列各组数中的两个值大小:(1);(2);(3)与;(4)与.(5)().【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【总结升华】                           

8、 例4.利用对数函数的性质比较、、的大小.【总结升华】                            举一反三:【变式1】已知则()A.B.C.D.例5.求函数的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式,保证原式有意义,然后再在定义域范围内求内函数的单调区间,然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解.【总结升华】                    

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