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1、数学物理方程的定解问题实质上都反映场与产生这个场的源之间的关系。例如，波动方程反映时变电磁场与电荷电流分布之间的关系，热传导方程反映温度场与热源之间的关系，泊松方程反映静电场与电荷分布的关系，等等。由于这些场源都可以看作点源的叠加，因此当知道一个点源的场，就可以利用叠加原理求出在同样边界条件下的任意源的场。这种处理方法的根据是，上述方程都是线性偏微分方程，它们的解遵守叠加原理。这种求解数学物理方程的方法称为格林函数法，在一定边界条件下点源的场称为格林函数。1第十二章格林函数解的积分公式格林函数,又称点源影响函数,是数学物理中的
2、重要概念,代表第一节泊松方程的格林函数法我们首先来介绍格林公式.设u(r)和v(r)在区域T及其边界上具有连续一阶导数,而在T中具有连续二阶导数,应用矢量分析的高斯定理将曲面积分化为体积积分点源的场,可以用叠加的方法计算任意源产生的场.一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场,而知道了2第一格林公式同理两式相减可得即其中表示沿边界的外法向求导数第二格林公式3讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程而第一,第二,第三类边界条件可以统一表示为其中是区域边界上的给定函数,为第一类边界条件为第二类边界条件,为第三类边界
3、条件.其中,泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫第一边值问题或狄利希利问题,与第二类边界条件构成的定解解问题叫第三边值问题.问题叫第二边值问题或诺依曼问题,与第三类边界条件构成的定4为研究点源产生的场,需要找一个能表示点源密度分布的函数,乘v(r,r0),上式乘u(r),然后相减在T中求积分应用格林公式将左边的体积分化为面积分,但在点r=r0,具有的奇异性,不能用,先从区域T中挖去包含ro的小块,(半径为的小球,的边界为,对于剩下的体积,格林公式就(*)位于r0点的单位强度的正点源在r产生的场,即v(r,r0)满足方程:脉
4、冲函数正好描述一个单位正点量的密度分布函数,以v(r,r0)表示可以应用了.5代入挖去的公式(*),且故当方程的解的点电荷的静电场中的电势,即可得上式右边而左边6则(*)成为:泊松方程的基本积分公式7上述公式将泊松方程的解u用区域T上的体积分及其边界上的面在边界上的值,但是,在第一边值问题中,知道的只是u在边界上的值,在第二边值问题中,知道的是在边界的值,在第三边值问题中知道的是u和的线性组合在边界上的值,都没有同时给出u和在边界上的值,不能直接应用基本积分公式来解决边如果我们能对v(r,r0)提出适当的边界条件,就可以解决这
5、个困难对于第一边值问题,u在边界上的值是已知的函数,如果要求v满足齐次的第一类边界条件值问题.积分表示出来.若要解决边值问题,需要知道u和8则基本积分公式中的一项为零,不需要知道在边界上的值,满足的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数,用G(r,r0)表示.则基本积分公式为对第三边值问题,令v满足齐次的第三类边界条件满足以上边界条件和方程的解称为泊松方程第三边值问题的格林函数,用G(r,r0)表示.9G(r,r0),乘得U乘且以G代替v,可得(1)(2)(1)和(2)相减得代入基本积分公式得10对于第二边值问题,同样的方法无法
6、解出,因为定解问题的解不存在!如果把这个格林函数看成温度分布,泛定方程右边的函数表明所包围区域T中有一个点热源,而边界条件表明边界是其中VT是T的体积，对于二维空间，有这个问题,引入推广的格林函数:区域T内的问题不断升高,其温度分布不可能是稳定的.为解决绝热的,这样,点热源不停释放热量,又不能散发出去,必然导致11其中AT是T的面积，这样添加的项是均匀分布的热汇密度，热汇在上述两个公式中，左边的r0表示观测点在r0，而右边积分中利用格林函数的对称性，可得r点产生的场，这里就要用到格林函数的对称性，将r和r0对调，的f(r)表示
7、源在r，可是，格林函数g(r，r0)所代表的是r0的点源在正好吸收了点热源放出的热量，正好相等。12第一边值问题解的积分表示式第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域T中分布的源f(r0)在点r产生的场的总和第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和。两项积对于拉普拉斯方程，右边的只要令上述公式右边的体积分为零，就可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解.边界条件下产生的场。分的格林函数相同，正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的13还有第三边值问题的解.由以上过程可以看出，借助于格林公式，可以用格林函数方法得到齐次方
8、程定解问题的解。14
