概率论第四章辅导(1)

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1、第四章随机变量的数字特征一.主要内容1.随机变量的数学期望2.随机变量函数的数学期望3.数学期望的性质4.随机变量的方差5.随机变量函数的方差6.随机变量方差的性质1二.应记忆的公式或结果随机变量的数学期望和方差的计算公式随机变量函数的数学期望和方差的计算公式3常见7种随机变量的数学期望及方差(1)两点分布(2)二项分布(3)泊松分布(4)均匀分布(5)正态分布(6)指数分布2例1.某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品检验,如发现其中的次品数多于1,就去调整设备.以X表

2、示一天中调整设备的次数,试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解:记随机的取10件产品,其中的次品数为Y,则Y~B(10,0.1).则不必调整设备的概率为从而需调整设备的概率为1-0.7361=0.2639则X的分布律为3P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=从而4例2.设随机变量X的分布律为求,,解或由期望的性质X-202P0.40.30.35例3.设随机变量的概率密度为求(1)Y=2X;(2)的数学期望。解(1)例4.某车间生产的圆盘其直径在区间内服从(

3、2)6均匀分布,试求圆盘面积的数学期望。解假设圆盘的直径为X,则其概率密度为圆盘的面积为,从而例5.设随机变量X1,X2的概率密度分别为71.求,2.又设,相互独立,求解1.8故2.当,独立时,例6.设随机变量(X,Y)具有概率密度求,,,,9解同理同理10同理所以例7.已知三个随机变量,,中,,,,求,.解11例8.设,,且设X,Y,相互独立,试求和的相关系数(其中,是不为零的常数).解故1213例9设(X,Y)的联合分布律为(1)令Z=X+Y,求Z的分布律。(2)求E(Z)和D(Z)解:(1)根

4、据X和Y的取值可知Z的取值为0,1,2,3;P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.25P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.15+0.15=0.30YX01200.250.150.1010.150.200.1514P(Z=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0) =0.2+0.1=0.3P(Z=3)=P(X=2,Y=1)=0.15故Z的分布律为(2)E(Z)=0*0.25+1*0.30+2*0.30+3*0.15=1.35E(Z2)=02*0.25+12*0.30+

5、22*0.30+32*0.15=2.85D(z)=E(Z2)-[E(Z)]2=2.85-(1.35)2=1.0475Z0123P0.250.300.300.1515第三章随机变量的数字特征 练习与答案1.设事件在第次试验中出现的概率为,表示第一次到第次试验中出现的次数之和。求。假定各次试验是相互独立的。2*.民航机场的送客汽车载有20位旅客从机场开出,旅客可以在10个车站下车。如果到达某一站时没有旅客下车,则不在该站停车。假定每位旅客在各个车站下车是等可能的,各位旅客在某站是否下车是相互独立的。设为

6、汽车的停车次数,求。163.同时独立抛掷枚均称的筛子,求出现的点数之和的数学期望和方差。4.进行某试验的次数是服从参数为泊松分布的随机变量,每次试验成功的概率都是。不成功的概率都是。求某试验成功的次数的数学期望与方差。假定各次试验成功与否是相互独立的。5.设相互独立且都服从正态分布,令,求。17参考答案:18

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