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1、实验1.1进入高等数学实验室实验目的木实验的目的首先是使读者对高等数学实验有初步了解，明确做数学实验的目标和方法。其次，通过本实验对《Mathematical数学软件有初步了解，学会Table、ListPlot>Plot、Show儿个系统函数的使用。实验指导一、什么是数学实验长久以来,数学一直被认为是一门高度抽象的学科。对大多数人来说，无论是研究数学还是学习数学，都是从公理体系出发，沿着“定义一定理一证明一推论”这样一条逻辑演绎的道路行进的。公理化体系的建立，充分展示了数学的高度抽彖性和严谨的逻辑性
2、，使数学成为有别于其他口然科学的独树一帜的科学领域。但是，在完美的公理化体系的包装下，数学家们发现问题、处理问题、解决问题的思维轨迹往往被掩盖了。在学习小，常常有学生问道：当初的数学家是怎样想到这个问题的？他们是怎样发现证明的？事实上，理性的认识需要充分的感性认识作为基础，数学的抽象來源于对具体数学现彖的归纳和总结。我们学数学不仅是要学习它的理论体系，而且耍学会数学的思考方法。那么，我们能不能采用归纳的方法和实验的手段来学习和理解高等数学呢？“高等数学实验”正是出于这样的H的而设置的一门课程。本课程
3、的目的是要引导读者进入口己体验数学、了解数学、学习数学的境界。在数学实验课中，我们希望读者能对给出的数学现彖进行认真的观察和研究，发现一些值得思考的问题，其至是某些困惑，通过自己的分析思考最终使问题得到解决，从而更加深入地理解和掌握数学的概念与方法。高等数学实验是以案例研究的方式来组织教学内容的。按照实验任务的不同，高等数学实验可以划分成四种层次：计算实验：借助计算机软件完成高等数学中的公式演算、数值计算、图形绘制等工作，提高使用计算机处理数学问题的能力，并为后续实验打好基础。体验实验：通过对数学现
4、象的深入观察，体验微积分屮有关的理论的基木思想和典型方法，加深对抽象概念的感性认识。探索实验：运用高等数学理论和技巧，开展探索性和发现性研究，训练观察问题的敏锐性、思考问题的全曲性、处理问题的灵活性。应用实验：结合解决各种实际问题，培养建立数学模空和综合运用数学知识使问题最终获解的实际应用能力。二、数学实验实例——调和数列研究1•调和数列白然数的倒数组成的数列1,1/2,1/3,1/n…称为调和数列。我们把它的前n项和数列Y-记作〃G丿。2.提出问题：H(n)是否收敛？我们借助于Mathematic
5、a数学软件来对〃(门)的收敛性进行观察。Stepl定义前n项和数列H(n)H[n_】：=NSum[l/k,{k,lzn}]Step2列出II(n)随n变化的数据表t=Table[{n,H[n]},{n,1,100}]Step3根据数据表ti出i出前n项和数列H(n)的图形phl=ListPlot[t]仔细观察数据的图像，思考一下5它与哪种已知函数图像很近似？4是不是与对数函数y=lnx的图像3很相似？好，把它们画在一起比2较一下！_20406080100图11-1H(n)的图像Step4与对数函数的
6、图像y=3(x)作比较plog=Plot[Log[x],{xz1,100}]；Show[phi.plog]图11-2H(n)与ln(n)图像的比较根据图像比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图像与ln(x^J图像非常相似,但它们人致相差一个常'数。这个常数约为c^H(100)-lnl00^0.577将In(x)的图像向上平移c单位后再进行观察。c=H[100]-Log[100]P12=Plot[Log[x]+u,{xzlf100}]；Show[phizpl2]；120406080100现在可以
7、看到图像几乎完全重合的现象。猜测1调和数列的前n项和H(n)是发散数列，它的数值与In(n)+c很接近。猜测2H(n)-In(n)很可能是收敛数列。图11-3H(n)与ln(n)+c的图像StepS用计算数据作卬证对充分人的n,计算H(n)-ln(n)的数值，形成数据表t=Table[N[{n,H[n],Log[n]zH[n]-Log[n]}f10]f{n,1000,10000,1000}]表1.H(n)与ln(n)的比较数据nH(n)ln(n)£二H(n)-ln(n)1000.7.48547086
8、6.9077552790.57771558132000.8.1783681037.600902460.57746564383000.8.583749898.0063675680.57738232214000.8.87139038.294049640.57734065955000.9.094508853&5171931910.57731566136000.9.2768137448.6995147480.57729899577000.9.430952528.8536654
