问题7.3立体几何中的最值问题-2017届高三数学跨越一本线含解析

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1、277届爲三敎芳烤越一凉钱椭问题三立体几何中的最值问题立体儿何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则儿何体为载体,涉及到儿何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考:一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解;二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.一、距离最值问题1•空间中两点间距离的最值问题【例1】正方体ABCD-A^C.D.的棱长为1,M、N分别在线段4G与BD上,求的最小值.【分析】方法一,该题可以结

2、合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求;方法二,可设出变暈,构建相应的函数,利用函数的最值求解;方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.【解析】方法一(足义转化法)因为直线4G与3D是异面直线,所以当MN是两直线的共垂线段时,MN瞅得最小值.取的中点P,BD的中点0.则线段P0就是两界血直线4G与BD的共垂线段.下证明之.在矩形BDDQ中,卩0为中位线,所以PQ//BBlt又因为丄平面ABCD,所以P0丄平面ABCD又因为BDj平面/BCD,所以P0丄BD.而PQPiBD=Q/PQ^AlCi=Pf所以线段PQ就是两异面直线4

3、G与BD的共垂线段,且PQ=.由异面直线公垂线段的定义可得MN>PQ=,故MN的最小值为1.方法二:(参数法)如图,取人G的中点P,BD的中点0•则线段PO就是两异面直线4G与BD的共垂线段.由止方体的棱长为1可得PQ=.连结AC,则AC//4G,所以ZBQC为两界面直线4G与BD所成角.在止方形ABCD^fAC丄BD,所以ZBQC=90°.过点M作丄/C,垂足为连结NH,则MH//PQfMMH=PQ=.设PM=mfQN=tf则0//=加.在RtQNH中,HN2=QN2+QH2=n2+m2,在RtMHN屮,MN2=MH2+HN2=12+n2+m2.显然,当m=n=0时,MN2取

4、得最小值1,即MN的最小值为1.方法三:(向量法)如图,以D为处标原点,分別以射线D4、DC、DDE、y.轴建立空间直角坐标系•设DN=m,AXM=n.则N(mcos45°,msin45°,0),即N(——m9——m,0)22M(-ncos45°,nsin45°,1),即M(1--所以MTV2=[^/H-(l-^«)]2+(^m-^77)2+l2=(^2+/72)-V2(m+/?)+2=(w-—)2+(/?-—)2+L22【点评】空间屮两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值•对于分别在两个不同对象上的点Z间距离的最值,可以根据这两个

5、元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值•如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度•另外注意直线和平血的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体ABCD・A]B]C]D*和分别是体对角线A£和棱AB上的动点,则

6、EF

7、的最小值为()【答案】B->TT设A]E=AA]C(OU),则eq-a人a入,a-a入),设F(a,ta,O)(Ost").t=A=-

8、EF

9、.=——a显然当2时,2,故选b.【解析】题

10、图所示的空间直角坐标系中,易得心0,0)戶丽0),(:(000)4©0叫则"0(®,-a)2•几何体表面上的最短距离问题【例2]正三棱柱ABC—AiBiC(中,各棱长均为2,M为AA】中点,N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式的比较.【解析】(1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开,则MnZamSan?=J『+(2+l)2=顶.⑵从底面到N点,沿棱柱的AC、BC剪开、展开,如图2.贝ijMN=AM2+AN2-2AM-ANcos120°VV4+V3

11、

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