第三节数学思想方法及其教学

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第三节数学思想方法及其教学一、 数学思想方法的含义“数学思想方法”一词无论在数学、数学教育范围内,还是在其它科学屮,也被广为使用。 中学数学课程标准(教学人纲)己将数学思想方法列为数学目标之一。但是,什么是数学思想?数学方法?数学事项方法?却不象数学中概念那样可以明确给 出定义,只能给出一种解释或界定。数学思想是对数学知识的木质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识屮锻炼上 升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍指导意义,是建立数学和用数学解决 问题的指导思想。例如,字母代数思想、化归思想、极限思想、分类思想等。数学方法是指在数学地提出问题,解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中, 所采用的各种方式、手段、途径等。如,变化数学形式、笛卡尔模式、递推模式、一般化、 特殊化等。数学思想与数学方法是紧密联系的,思想指导方法,方法体现思想。“同一数学成就, 当用它去解决别的问题时,就称之为方法,当评价它在数学体系屮的自身价值和意义时,称 Z为思想。”当强调指导思想,解题策略时,称Z为数学思想;强调操作时,称为数学方法, 往往不加区别,泛称数学思想方法。例如,化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。我在处理和解决数学问题时, 总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。而实现这种化归,就是将 问题不断的变换形式,通过不同的途径实现化归,这就是化归方法,具体的划归方法有多种, 如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。二、 中学数学思想数学思想是数学教学的重要内容之一。重视与加强屮学数学思想的教学,这对于抓好 双基、培养能力以及提高学牛的数学索质都具有十分重耍的作用。为此 下面择要探讨有关 中学数学思想的问题。(一)用字母、符号、图象表示数学内容的思想数学学科与其它学科的一个显著区别,在于数学屮充满了字母、符号、图形和图象,它 们按照一定的规则表达数学的内容。这些字付、符号、图象、图形就是数学语言。数学发 展史表明,数学的发展与数学语言的创造和运川密切相关。前苏联A.A.斯托利亚尔在《数 学教育学》里指曲数学中“符号和公式等人工语言的制订是最伟大的科学成就,它在很大 程度上决定了数学的进一步发展。今天越來越明显,数学不仅是事实和方法的总和,而]1.是 (也许甚至首先是)用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言数学语言可 分为两种:一种是抽象的符号语言;另一种是较直观的图彖(图形)语言,通过它们表达概 念、判断、推理、证明等思维活动。用数学符号(数字、字母、运算符号或关系符号)表示 数学内容,比用自然语言表示要简短得多。例如,余眩定理用白然语言表述是“三角形的任 一边比的平方,等于其它两边1 r的平方和,减去这两边与它们夹角上的余弦的积的两倍”,如果用数学语言表达,贝两者比较,数学语言可大大缩 短语言农达的“长度覽运用数学语言可以使数学的叙述、计算和推理简单明了,才能大大简 化和加速思维进程,使数学成为充满活力的运行系统。数学符号的使用极大地推动了数学的 发展。有人把十七II上纪叫做数学的天才时期,把十八世纪叫做数学的发展时期,这两个lit纪 数学Z所以取得较大的成就,原因z—?是大量创造并使用数学符号。数学符号简化的记法, 常常是深奥理论的源泉。数学语言的功能可按符号和图象在数学屮的作用,归纳为以下儿方而:(1 )表示数的字母或儿何图形的符号,具有确定的符号意义的功能。① 用字母表示数。法国数学家韦达于1591年在代数中建立了抽彖的符号,他和笛卡尔 先后用拉丁定母歩上表示已知数,用入”…表示未知数。瑞士数学家欧拉于1736年首先用扌表示自然对数的底,而扌恰是他名字的第一个字母, 沿用卜?来具有纪念意义。英国数学家琼斯于1706年首先用:表示【员1周率,这符号源于希腊文F**® (I员I 周)。欧拉于1777年首先用法文imkginaaire (虚的)第一个字母^表示虚数单位。② 用字母和符号表示儿何图形。如用表三用形的三边,用相应的人写字母U分别表示ah 百所对的角,这是欧拉首先倡导的。此外,在儿何中用二表示角,用?表示三角形,用二表示平行四边形,用°、表示圆,用■表示平行等,这些是数学中的彖形符号。(2 )数学符号具冇形成数与数、数与式、式与式Z间关系的功能。符号表示相等,这是1557年英国列科尔德引入,后经徳国莱布尼兹倡议把它作为 相等关系的符号。符号,分别表示大于、小于,这是十七世纪哈里奥特创造的。 符号“己?, “二「,,“匚,,分别表示集合论中元索与集合间属于关系,集合与集合之间的 包含关系、包含于关系。这是1889年意人利皮亚诺首先使用的。符号“s,,、“9"分別表示几何图形的相似与全等关系,这是莱布尼兹首先创用的。(3)数学符号具有按照某种规定进行运算的功能。符号“+,,、分别表示数(式)的加、减运算,是15世纪徳国韦徳曼首先采用的,你” 表示乘法运算,是17世纪英国数学家欧徳莱最先使用,“^表示除法运算,则是瑞士人创 造的。符号“”是微积分的垂要符号,其中人或"是拉格朗口创造的,dx是莱布尼兹创造的,则是富里埃创造的。(4)为了简明地表示某个特定的式子或某种特定的涵义而引入某些数学符号。例如:V”表示-?元二次方程&仏 y001"®的根的判别式化也\符号“如,,、“皿,,分别表示极人值和极小值。类似的约定符号还有很多。如"匚' 等。到H前为止,数学中常见的符号冇两百多种,中学数学中常见的符号也冇一百多种。这 些符号有机地结合,构成了内涵深刻、丰富简明的数学语言。(5 )随着电子计算机的发展,数学语言的百观功能越来越明显。人们在电子计算机的 终端显示屏上可看到各种数字、数学图农、图像,它们作为信息传递的一种形式具有同符号 语言相同的功能,而且比符号语言更冑观。这里所讲的“图形”,不仅包拙“几何图形”,而且 还包括“一般图形",如集合论中的文氏图、示意图、表格、模型图和思路分析框架图等。(二)转化的思想数学中充满矛盾,对立而无不在一?定条件下互相转化。已知与未知,界与同,多与少, 一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现, 转化的方向--般是把未知的问题朝向己知方向转化,把难的问题朝较易的方向转化,把繁杂 的问题朝简单的方向转化,把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归,即转化与归结的意思,把有待解决的未解决的问题,通过转化过程,归结为已熟 悉的规范性问题或已解决过的问题,从而求得问题解决的思想。人们在研究运用数学的过程中,获得了人量的成杲,积累了丰富的经验,许多问题的 解决已形成了 ]古I定的模式、方法和步骤,人们把这种已有相对确定的解决方法和程序的问题, 叫做规范问题,而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法,称为问题的化归。例如中学数学教材里对于一元一次方程和一元二次方程,已经冇了固定的求解方法、步 骤和求根公式,因此,求解一元一次方程和一元二次方程的问题属于规范问题。而一元高次 方程在中学数学解法
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