第四章显著性检验

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'第四章显著性检验'
第三章显著性检验第一节测验误差在对总体参数进行估计时,由于随机因素的影响,必然会存在着误差,测验误差可分为 两类:一类是随机误差,一类为系统误差。由偶然因素引起的误差叫做随机误差。例如,在一次打靶试验中,某个运动员的平均水平是7环。但这并不意味着运动员每次 打靶的成绩都是7环,他可能第一次打靶是9环,第二次打靶是4环,一些偶然因素的干扰 可能影响到他的打靶成绩,如风向、子弹偏重、心情紧张等等。由这些偶然因素引起的误差 便是随机误差。又如,在教育测验屮,由于考生临场紧张,生病、休息不好等因素,都会影响到他(她) 的考试成绩。由这些因素引起的误差也是随机误差。由测量系统或者测量工具引起的误差叫做系统误差。例如,在打靶试验中,某射手平均成绩是7环,但由于枪的准星不准,结果他的总平均 成绩只有5环。象这种由测量工具本身的原因造成的误差便是系统误差。又如,在教育测验屮,某次考试涉及到尚未学习过的知识,或者测验试题有错,或者数 学测验涉及到物理问题,这些因素都会影响到考生的考试成绩,这种误差就是属于系统误差。随机误差虽然不可避免,但随着试验次数的增加,随机误差会逐渐缩小,且在样本确定 以后,其误差分布有一定的范围,而系统误差则是稳定的,它不会随着试验次数的增加而缩 小。如何区分测验误差是随机误差或系统误差,这是显著性检验所要讨论的内容。第二节Z检验1.总体平均数的Z检验在教育统计中,总体平均数是最重要的一个集中量数,它能很好地反映出数据的集中趋 势。但在实践中,总体平均数通常都是未知的,因此,需要进行估计。由于误差的存在,估 计出的平均数与总体平均数总是有差异的,然而这种差异不应过大,而应有一定的分布范围。 当超过了这个范围,这个估计值就是不可以接受的,这就需要对平均数的差异进行显著性检 验。在教育统计屮,对这类问题的检验主要是用Z检验,下面我们来讨论Z检验的操作过 程。设X\,X“…,X”是取自某一正态母体的一个样本,k已知,x=-yx.为样本平均数。检验过程:1) 假设Ho : u = % ,备择假设7/]: u H如;_ in _ 厂22) 计算Z统计量:X=-Yxz.,如果Ho为真,则改?N%——),从而n肓 n Z = ?N(O,1);(y/yjn3)给定显著水平a (0通常取0.05),查正态分布表,得分位值 %,于是,在H。为真的情况下,P(\z\<uJ = \-a.2P(Z <ua) = l-a的意义如图所示。若H。成立,则Z <ua的概率为1—a, Z >ua的概率为a,如果収a = 0.05,则2 21-a = 0.95?;在一次抽样中,大概率更容易发生,而小概率则不易发生。4)统计推断:如果|Z| < ,则表明在的假设下,发生了大概率事件,因此接受H。,2如果|Z| > ,则表明在的假设下,发生了小概率事件,因此拒绝H。,接受2应用举例例1某厂一车床生产圆形工件,其直径据经验服从正态分布N(u,(t2),其中<r = 5.2,现抽取样本/2 = 100,算得乂 = 26.56,试检验Ho:比= 26。解:1)假设 w = 26 ;2)计算Z统计量:X-uer/Vn 26.56 —265.2/10= 1.08;3)给定显著水平a = 0.05 ,查正态分布表,得ua =1.96;24)统计推断:v Z =1.08 <1.96, A接受H。,样本平均数文与26没有显著差异在例1中,拒绝域是一个小概率区间,而接受域则是一个大概率区间,这是因为人们认为, 考虑到随机误差的影响,对于大量的,长吋间经验所取得的结果,不应当轻易加以否定,因此接 受域应定得大一些。但是接受域概率究竟要大到什么程度才算合适,对此人们并没有一个明 确的结论,通常将接受域概率定为9 5 %,也可以定为9 0 %或者9 9 %。对于这一点没有 一个一般性的规定。主要视具体情况而定。如果对于这样大概率的接受域,样本统计量都要掉在小概率区I'可,这时,我们就有充分 的理由认为Ho是不真的,因此应拒绝H。。然而在实践屮,我们仍然有可能犯两种错误:第一种错误是错误地拒绝,第二种错误是 错误地接受,这两种错误的意义如下表所示:H°为真为假拒绝H°第一类错误:错误拒 绝。正确拒绝接受正确接受第二类错误:错误接 受从表中我们可以看出,第一种错误是将原本为真的结论错误地拒绝,第二种错误则 是将愿本为假的结论错误地接受。在实践小,这两种错误都有可能犯,犯两种错误的概率如 下图所示:上图中左边的曲线代表u = 为真时的曲线,而右边的曲线则代表备择假设弘工如为真时的曲线。Q表示的是犯第一种错误的概率,而0表示的则是犯第二种错误的 概率。人们在实践中总是希望同时减少犯两种错误的概率,然而在样本已确定的情况下,要减 少犯第一种错误的概率,则势必增加犯第二种错误的机会,反之亦然。在显著性检验中,这 是一对难以调和的矛盾,要想同时减少犯两种错误的机会,只有增加样本才有可能。在实践中,有时错误接受可能带来严重后果,例如,民航机飞行员的招生,如果把不合格 的考生招进来,其后果将是灾难性的,在这种情况下,亍愿错误拒绝也不愿错误接受,这时 可将。定得大一些。反过来,如果错误拒绝可能带来更大的不良后果,则可将。定的小一 些。在例1中,我们假定方差是已知的,而在实践中,通常总体方差是未知的,这时只要样 本足够大,就可用样本方差代替总体方差。例2己知在某年的高考中,数学平均成绩是78分,某校共有40()名毕业生参加了当年 的高考,其数学平均成绩是75分,样本标准差S=12分。试检验该校考生的数学成绩与78 分是否存在显著差异。解:1)假设w = 78; 2)计算Z统计量:疗 X-u 75-78 -3 °Z = = = = —j ?Sl4n 12/V400 3/53) 给定显著水平a = 0.05,查正态分布表,得ua =1.96;I4) 统计推断:???|Z| = 5>1.96,???拒绝该校数学平均成绩与78分存在显著 差异。例3在例2屮,将标准差增加到20,样本减少到100,问该校的平均成绩与总体平均 成绩是否存在显著差异?解:1)假设 n = 78 ;2)计算Z统计量:Z二车=二皂—1.5;S/4n 20/V100 20/103)给定显著水平a = 0.05,查正态分布表,得ua =1.96;4)统计推断:???Z = 1.5 < 1.96, A接受H(),该校考生的数学平均成绩与78分不存在显著差异。例2与例3的结果表明,要比较两个平均数是否存在显著差异,不能单纯比较这两个平 均数本身,而应结合样本容量与样本标准差进行综合考虑,否则便会得出不正确的结论。2 ?独立两总体平均数差异的Z检验在教育实验中,经常需要对两个不同班级的测验成绩进行比较,例如,有两个平行班 级,甲班与乙班,在一次
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