第一章直角三角形的边角关系解直角三角形及其应用复习(讲义)

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解直角三角形及其应用1. 定义:在直角三角形屮,由除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直 角三角形。2. 直角三角形的边角关系:如图:CO三边之间的关热an* (划ft定理) GO 解细U冋的关% ZA+ZB=9(r(3)边角之间的关系:I厶M边-ItMl cA wAfiwsa bs - = 7 —十边?b3?解直角三角形的四种基本类型:如下图:(1) ZB = 90P-ZA一哙严C2)C3) b =(c, ZA)两超角边(a> b)(2)sii>A = — a=c* sitiA(3) co«A ■ “ —>b ■ c ? co«A(1) c = -/a1 +ba(2) t»A=^ZAb(3〉ZB-9(r-ZA斛娴一条宜角边(c> a)已知直角三角形的两个基本元素(至少有一个是边),利用以上关系就可以求出其余的 未知元素,其中恰当地选用边角关系是关键。应注意以下原则:(1) 有“斜”选“弦”,无“斜”选,沏”。(2) 尽量使未知元素在分子的位置上,以便利用乘法运算求未知元素。(3) 尽量使用原始数据:以减少误差的积累,也可避免由于中间数据有错而产生新的误 差。4. 几个常用概念:(1) 仰角:在测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫仰角。(2) 俯角:在测量时,从上向下看,视线与水平线的夹角叫俯角。(3)坡度:(坡比)如图:坡面的铅直高度(h)和水平长度(/)的比,叫做坡面的坡度。记机上〉通常写底&的影龙(4)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a。有 i = y = tana坡度越大,坡角越大,坡血越陡。(5)方向角(如图)0A:北偏东30。OB:东南方(南偏东45。)OC:南偏酋70。0D:北偏西60。东西与南北方向线互相垂直。5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题:基本思路:要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。(即 构建数学模型:直角三角形),才能运用解直角三角形的方法求解。一 ?般有以下几个步骤:(1) 审题:根据题意画出正确的平面图或截面示意图,在图形中弄清已知和未知。(2) 将已知条件转化为示意图中的边、角关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题。(3) 选择适当关系式解直角三角形。典型例题例1?在RtAABC中,ZC = 90°,解直角三角形:(1) a=8, b=6(2) c=16, ZA = 32°2. 如图某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm,为方便残疾人士, 可以将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现将斜坡的坡角ZBCA设计 为12°,求AC的长度(精确到lcm)。B30cm 例3.如图,湖泊的中央有一建筑物AB,某人在地面C处测得其顶点A的仰角为60。,然 后白C处沿BC方向行100m至D点,又测得其顶部A的仰角为30。,求建筑物AB的高。例4?如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝高23米,坝而宽BC = 6米,根据条件求:(1) 斜坡AB的坡角a;(2) 坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0」米)。例 5 JMS. ZC = W, = 点MtBC上.a.ZADC =45°, DC=6,求ZBAD的正切值。例6?如图,一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心 正以40海里/小时的速度由南向北移动,距台风屮心20JI6海里的图形区域(包括边界) 都属台风区,当轮船到A处时,测得台风屮心移到位于点A正南方向B处,且AB=100 海里。(1) 若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最初 遇到台风的时间;若不会,说明理由。(2) 现轮船自A处立即提高船速,向位于东偏北30。方向,相距60海里的D港驶去,为 使台风到来之前到达D港,问船速至少应提高多少?(提高的船速取整数厢円36〉一、填空题。1. 在 RtAABC «|b ZC = 90°, 31=岳,则ZA= , sinA= 。2. 在 RtAABC 中,ZC = 90。,c=10, ZA=45。,则 a= , b= , ZB3. 如果等腰三角形的顶角为120°,腰长为6cm,这个三角形的面积为 o4?如图 RtAABC ZC = 90°, D 为 BC ±一点,ZDAC = 30。,BD=2, AB?2再,则 AC= o5. 若某人沿坡度i=3: 4的斜坡前进10m,则他所在的位置比原来的位置升高 mo6. 如图,从高出海平而500m的直升飞机上,测得两艘船的俯角分别为45。和30。,如果这两艘船一个正东,一个正西,那么它们Z间的距离为 O二、选择题。1. RtAABC 屮,ZC=90。,= a=2,贝Jb + c=()A. 4 B. 8 C. 1 D. 62. 在RtAABC中,斜边AB是直角边BC的4倍,则cosA=()A. 2 B. C. D.4 ~ nr "i?3?如图,某河堤横断面为梯形,上底为4m,堤高为6m,坡AD的坡度为1: 3,斜坡CB的坡度为1: 1,则河堤横断面的面积为()A. 43maD. 192maC. 84ma 4. 如图 RtAABC 中,ZACB=90°,CD丄AB 于 D,若 AC=4,BC=3,则 sinZACD=( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 13 4 5 55. 如图,已知上午9时,一条船从A处出发以10海里/小时的速度向正北航行,11时到达B处,从A、B望灯塔C,测得ZNAC=30°, ZNBC = 60°,则灯塔C到直线AN的距离 CD=()A. 20 B. 2诟 C. 10^ D. 10三、解答题。1.如图,ZSABC 中,ZB = 60°, ZC=45°, AB =2-^ ,求 AC 的长。2.如图,在 RtAABC 中,ZC = 90°, ^*=2, D 为 AC ±一点,ZBDC=45°, DC = 56cm,求 AB^ AD 的长° 3. 如图,甲、乙两建筑物的水平距离为30m,从A点测得C点的仰角为60。,测得D点的俯角为30。,求建筑物甲的高CD。4?如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30。,测得岸边点D的俯 角为45。,又知河宽CD为50m,现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC, 求缆绳AC的长。5.如图,某水库大坝2 2000米,坝顶宽10米,迎水坡的坡度八二
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第一章 直角三角形 边角 关系 及其 应用 复习 讲义
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