第六章 定积分的概念

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微积分 微 积 分 dx ? rx 莫兴德 dt 广西大学 数信学院 Email:moxingde@gxu.edu.cn 微积分 链接目录第一章 函数 第二章 极限与连续第三章 导数与微分 第四章 中值定理,导数的应用第五章 不定积分 第六章 定积分第七章 无穷级数(不要求) 第八章 多元函数第九章 微分方程 复习微积分 参考书 [1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社微积分 第六章 定积分的概念微积分 定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分,系统地介绍了积分法,这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发,引出积分学的第 二类基本问题——定积分,它是微分(求局部量 )的逆运算(微分的无限求和——求总量),然 后着重介绍定积分的计算方法,它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。 重点 定积分的概念和性质,微积分基本公 式,定积分的换元法和分部积分法 难点 定义及换元法和分部法的运用微积分 基本要求 ①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念,微积分基本定理, 并会用N-L公式计算定积分, ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法 计 算定积分 ⑤正确理解两类广义积分概念, 并会用定义 计算一些较简单的广义积分。微积分 一、问题的提出 实例1 (求曲边梯形的面积) 求面积问题由来已久,对于由直线所围成的 平面图形的面积我们已经会求,下图所示的图形 如何求面积 y m 将其置于直角 坐标系下考察 A B 问题归结为AmBbaA与AnBbaA n 的面积之差 曲边梯形 o a b x微积分 曲边梯形由连续曲线 y ? f (x) y y ? f ( x)( f ( x) ? 0)、 x轴与两条直线x ? a、 A ? ? x ? b所围成. o a b x 用矩形面积近似取代曲边梯形面积微积分 y y o a b x o a b x (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积. 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.微积分 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 播放微积分 曲边梯形如图所示 在区间 [a,b]内插入若干 个分点, a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b, 把区间 [a,b] 分成 n y 个小区间 , [xi?1 , xi ] 长度为 ?xi ? xi ? xi?1; 在每个小区间 [xi?1 , xi ] x x ? x x 上任取一点 , o a 1 i?1 i i n?1b x ?i 以 为底, 为高的小矩形面积为 [xi?1 , xi ] f (?i ) Ai ? f (?i )?xi微积分 曲边梯形面积的近似值为 n A ? ? f (?i )?xi i?1 当分割无限加细,即小区间的最大长度 ? ? max{?x1 ,?x2 ,??xn } 趋近于零 (? ? 0) 时, n 曲边梯形面积为 A ? lim ? f (?i )?xi ??0 i?1微积分 实例2 (求变速直线运动的路程) 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度 看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程 的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值.微积分 (1)分割 T1 ? t0 ? t1 ? t2 ? ? ? tn?1 ? tn ? T2 ?t ? t ? t i i i?1 ?si ? v(? i )?ti 部分路程值 某时刻的速度 n n (2)求和 s ? ? ?si ? ?v(? i )?ti i?1 i?1 ( )取极限 3 ? ? max{?t1 ,?t2 ,?,?tn } n 路程的精确值 s ? lim ?v(? i )?ti ??0 i?1微积分 问题 以上两个例子,一个是几何问题,求的 是以曲线 y = f(x)为曲边,以 [a,b] 为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题,求的是 速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时 间区间 [a,b] 所走过的路程 归 纳 它们求的都是分布在某个区间上的总 量(总面积或总路程) 解决方法: 通过局部取近似(求微分),求和取极限 (微分的无限求和)的方法,把总量归结为 求一种特定和式的极限微积分 类似的例子还可以举出很多(几何、物 理的,在下一章定积分应用中即可见到) 这些问题虽然研究的对象不同,但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题,就有必要撇开它们的具体 含义,而加以概括、抽象得出定积分的概念微积分 二、定积分的定义 定义设函数 f ( x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入 若干个分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间的长度依次为 , ,在各小区间上任取 ?xi ? xi ? xi?1 (i ? 1,2,?) 一点 ( ), ? i ? i ? ?xi 作乘积 f (? i )?xi (i ? 1,2,?) n 并作和S ? ? f (? i )?xi , i?1 也不论在小区间 上 如果不论对[a,b] 怎样的分法, [xi?1 , xi ] 和 总趋于 点?i 怎样的取法, 只要当? ? 0时, S 确定的极限I ,我们称这个极限I 为函数 f ( x)微积分 在 区 间 [ a , b ] 上 的 定 积 分 , 记为 积分上限 b n f (x)dx ? I ?lim ? f (? i )?xi ?a ??0 i?1 积分和 被 被 积 积分下限 积 积 分 表 变 函 积分区间 数 达 量 [a,b] 式 注意: (1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关. b b b f (x)dx ? f (t)dt ? f (u)du ?a ?a ?a (2)定义中区间的分法和? i 的取法是任意的.微积分( 3) 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [a , b]上 的 定 积 分 存 在 时 , 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 三、存在定理 定理1 当函数 f ( x)在区间[a,b]上连续时, 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 定理2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界, 且只有有限个间断点, 则 f (x)在 区间[a,b]上可积.微积分四、定积分的几何意义 b ? f (x)dx ? A 曲边梯形的面积 f (x) 0, ?a b 曲边梯形的面积 f (x) ? 0, f (x)dx ? ? A ?a 的负值 A1 A3 A2
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