自旋与全同粒子

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'自旋与全同粒子'
第七章 自旋与全同粒子§1 电子自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 两个角动量耦合 §5 光谱精细结构 §6 全同粒子的特性 §7 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 §8 两电子自旋波函数 §9 氦原子(微扰法)§1 电子自旋 (一)Stern-Gerlach 实验 (二)光谱线精细结构 (三)电子自旋假设 (四)回转磁比率(一)Stern-Gerlach 实验 Z (1)实验描述 N S S 态的氢原子束流,经非均匀磁场发生 偏转,在感光板上呈现两条分立线。 (2)结论 I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 处于 S 态的 即空间量子化的 氢原子(3)讨论 ? ? 设原子磁矩为 M,外磁场为 B, ? 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为: 磁矩与磁 ? ? 场之夹角 U ? ?M ? B ? ?MBz cos? 原子 Z 向受力 ?U ?B F ? ? ? M z cos? z ?z ?z 分析 若原子磁矩可任意取向,则 cos ? 可在 (-1,+1) 之间连续变化,感光板将呈现连续带 但是实验结果是:出现的两条分立线对应 cos ? = -1 和 +1 ,处于 S 态的氢原子 ?=0,没有轨道 磁矩,所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩,即自旋磁矩。(二)光谱线精细结构 3p 钠原子光谱中的一 3p 3/2 条亮黄线 ? ? 5893Å,用 高分辨率的光谱仪观测,可 D 3p1/2 以看到该谱线其实是由靠得 1 58 D2 很近的两条谱线组成。 93 58 58 其他原子光谱中也可以 Å 96 90 发现这种谱线由更细的一 Å Å 些线组成的现象,称之为 3s 3s1/2 光谱线的精细结构。该现 象只有考虑了电子的自旋 才能得到解释(三)电子自旋假设 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了 电子自旋假设 (1)每个电子都具有自旋角动量,它在空间任何方向上 的投影只能取两个数值: ? ? S S ? ? z 2 (2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量的关系为: ? ? e ? M ? S S ? c 自旋磁矩,在空间任何方向上的投影只能取两个数值: e ? M ? ? ? ? M (CGS ) S z 2 ? c B Bohr 磁子(四)回转磁比率 回旋磁比率: M sz e M e ? ? ( ) sz SI ? ? (CGS) S z ? Sz ?c 轨道磁矩与轨道角动量的关系: ? e ? ? e ? M ? ? L ( ) M ? ? L (CGS) l 2? SI l 2?c M e M l z e lz ? ? (SI) ? ? (CGS) L 2?c Lz 2? z 自磁矩是轨道磁矩的两倍 §2电子的自旋算符和自旋波函数 (一)自旋角动量 (二)含自旋的状态波函数 (三)自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 (四)含自旋波函数的归一化和几率密度 (五)自旋波函数 (六)力学量平均值(一)自旋角动量 轨道角动量 自旋角动量 ?? ?? L S ?? ?? ?? ?? ?? ?? L ? L ? i ? L S ? S ? i ? S ? ? ? ? ? ? [ L x , L y ] ? i ? L z [ S x , S y ] ? i ? S z ? ? ? ? ? ? [ L y , L z ] ? i ? L x [ S y , S z ] ? i ? S x ? ? ? ? ? ? [ L z , L x ] ? i ? L y [ S z , S x ] ? i ? S y 由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值 所以 ? ? ? 的本征值都是 ?/2,其平方为[?/2]2 Sx Sy Sz ± 2 算符的本征值是 S? 2 ? S? 2 ? S? 2 ? S? 2 ? 3 2 S? x y z 4 ? 仿照 2 2 S2 ? s(s?1) 2 ? 3 2 ?s ? 1 L ?l(l ?1)? ? 4 ? 2 自旋量子数 s 只有一个数值(二)含自旋的状态波函数 因为自旋是电子内部运动自由度,所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外,还需要一个自旋变量 (SZ),于是电子的含自旋的波函数需写为: ? ? ?( x, y, z, S , t ) ? ? z ?? 1 (r , t ) ? ? ( x , y , z ,? 2 , t ) ? ? ? (r , t ) ? ? ( x , y , z ,? ? , t ) 由于 SZ 只取 ±?/2 两个值, ? 2 2 所以上式可写为两个分量: 写成列矩阵 ? ?? 1 (r , t ) ? ? ? ? ? ? 规定列矩阵 ?? 2 (r , t )? 第一行对应于Sz = ?/2, 第二行对应于Sz = -?/2。 若已知电子处于Sz = ?/2或Sz = -?/2的 自旋态,则波函数可分别写为: ? ?? 1 (r , t )? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?
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