自旋与全同粒子

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1、§1电子自旋§2电子的自旋算符和自旋波函数§3简单塞曼效应§4两个角动量耦合§5光谱精细结构§6全同粒子的特性§7全同粒子体系波函数Pauli原理§8两电子自旋波函数§9氦原子(微扰法)第七章自旋与全同粒子(一)Stern-Gerlach实验(二)光谱线精细结构(三)电子自旋假设(四)回转磁比率§1电子自旋(1)实验描述Z处于S态的氢原子(2)结论I。氢原子有磁矩因在非均匀磁场中发生偏转II。氢原子磁矩只有两种取向即空间量子化的S态的氢原子束流,经非均匀磁场发生偏转,在感光板上呈现两条分立线。NS(一)Stern-Gerla

2、ch实验(3)讨论磁矩与磁场之夹角原子Z向受力分析若原子磁矩可任意取向,则cos可在(-1,+1)之间连续变化,感光板将呈现连续带但是实验结果是:出现的两条分立线对应cos=-1和+1,处于S态的氢原子=0,没有轨道磁矩,所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩,即自旋磁矩。3p3s5893Å3p3/23p1/23s1/2D1D25896Å5890Å钠原子光谱中的一条亮黄线5893Å,用高分辨率的光谱仪观测,可以看到该谱线其实是由靠得很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象,称之为光谱线

3、的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释(二)光谱线精细结构Uhlenbeck和Goudsmit1925年根据上述现象提出了电子自旋假设(1)每个电子都具有自旋角动量,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值:(2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量的关系为:自旋磁矩,在空间任何方向上的投影只能取两个数值:Bohr磁子(三)电子自旋假设回旋磁比率:(SI)(CGS)轨道磁矩与轨道角动量的关系:(SI)(CGS)自磁矩是轨道磁矩的两倍(SI)(CGS)(四)回转磁比率(一)自旋角动量(二)含自旋的状态波函数(三)自

4、旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵(四)含自旋波函数的归一化和几率密度(五)自旋波函数(六)力学量平均值§2电子的自旋算符和自旋波函数由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取±/2两个值所以的本征值都是±/2,其平方为[/2]2算符的本征值是仿照自旋量子数s只有一个数值(一)自旋角动量因为自旋是电子内部运动自由度,所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外,还需要一个自旋变量(SZ),于是电子的含自旋的波函数需写为:由于SZ只取±/2两个值,所以上式可写为两个分量:写成列矩阵规定列矩阵第一行对应于Sz=/2

5、,第二行对应于Sz=-/2。若已知电子处于Sz=/2或Sz=-/2的自旋态,则波函数可分别写为:(二)含自旋的状态波函数(1)SZ的矩阵形式电子自旋算符(如SZ)是作用在电子自旋波函数上的,既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵,那末,电子自旋算符的矩阵表示应该是2×2矩阵。因为Φ1/2描写的态,SZ有确定值/2,所以Φ1/2是SZ的本征态,本征值为/2,即有:矩阵形式同理对Φ–1/2处理,有最后得SZ的矩阵形式SZ是对角矩阵,对角矩阵元是其本征值±/2。(三)自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵(2)Pauli算符

6、1.Pauli算符的引进分量形式因为Sx,Sy,Sz的本征值都±/2,所以σx,σy,σz的本征值都是±1;σx2,σy2,σZ2的本征值都是。即:2.反对易关系基于σ的对易关系,可以证明σ各分量之间满足反对易关系:证:我们从对易关系:出发左乘σy右乘σy二式相加同理可证:x,y分量的反对易关系亦成立.[证毕]或由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下非常有用性质:σy2=13.Pauli算符的矩阵形式根据定义求Pauli算符的其他两个分量令利用反对易关系σX简化为:令:c=exp[iα](α为实),则由力

7、学量算符厄密性得:b=c(或c=b)σx2=I求σy的矩阵形式这里有一个相位不定性,习惯上取α=0,于是得到Pauli算符的矩阵形式为:从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示:写成矩阵形式(1)归一化电子波函数表示成矩阵形式后,波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分,即(2)几率密度表示t时刻在r点附近单位体积内找到电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=/2的电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=–/2的电子的几率在全空间找到Sz=/2的电子的几率在全空间找到Sz

8、=–/2的电子的几率(四)含自旋波函数的归一化和几率密度波函数这是因为,通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的,所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是,当这种相互作用很小时,可以将其忽略,则ψ1,ψ2对(x,y,z)的依赖一样,即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式:求:自旋波函数χ

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