二次三项式因式分解复习

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二次三项式因式分解复习复习目标:(1)理解二次三项式的意义;(2)理解十字相乘法的根据;(3)能用十字相乘法分解二次三项式;(4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1.二次三项式多项式,称为字母x的二次三项式,其中称为二次项,bx为一次项,c为常数项.例如,和都是关于x的二次三项式.在多项式中,如果把y看作常数,就是关于x的二次三项式;如果把x看作常数,就是关于y的二次三项式.在多项式中,把ab看作一个整体,即,就是关于ab的二次三项式.同样,多项式,把x+y看作一个整体,就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是:(1)对于二次项系数为1的二次三项式,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积,并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式(a,b,c都是整数且a≠0)来说,如果存在四个整数,使,,且,那么它的特征是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如:3.因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”.教学过程:一、师生互动1、把下列各式分解因式:(1);(2).点悟:(1)常数项-15可分为3 ×(-5),且3+(-5)=-2恰为一次项系数;(2)将y看作常数,转化为关于x的二次三项式,常数项可分为(-2y)(-3y),而(-2y)+(-3y)=(-5y)恰为一次项系数.解:(1);(2).2、把下列各式分解因式:(1);(2).点悟:我们要把多项式分解成形如的形式,这里,而.解:(1);(2).点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性.3、把下列各式分解因式:(1);(2);(3).点悟:(1)把看作一整体,从而转化为关于的二次三项式;(2)提取公因式(x+y)后,原式可转化为关于(x+y)的二次三项式;(3)以为整体,转化为关于的二次三项式.解:(1) =(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).(2) =(x+y)[(x+y)-1][7(x+y)+2]=(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2).(3) 点拨:要深刻理解换元的思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止.4、 分解因式:.点悟:把看作一个变量,利用换元法解之.解:设,则原式=(y-3)(y-24)+90=(y-18)(y-9).点拨:本题中将视为一个整体大大简化了解题过程,体现了换元法化简求解的良好效果.此外,一步,我们用了“十字相乘法”进行分解.例5 分解因式.点悟:可考虑换元法及变形降次来解之.解:原式,令,则原式.点拨:本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时,还应用了换元法,方法巧妙,令人眼花瞭乱.但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”,这是一个重要环节.例6 分解因式.点悟:方法1:依次按三项,两项,一项分为三组,转化为关于(x-y)的二次三项式.方法2:把字母y看作是常数,转化为关于x的二次三项式.解法1: .解法2: =(x-y-6)(x-y+1).例7 分解因式:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b).点悟:先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组.解:ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b)=(a-b)(c-a)(c-b).点拨:因式分解,有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组,有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后,根据字母c的次数分组,出现了含a-b的因式,从而能提公因式.随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例8 已知有一个因式是,求a值和这个多项式的其他因式.点悟:因为是四次多项式,有一个因式是,根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是(a、b是待定常数),故有.根据此恒等关系式,可求出a,b的值.解:设另一个多项式为,则,∵ 与是同一个多项式,所以其对应项系数分别相等.即有由①、③解得,a=-1,b=1,代入②,等式成立.∴ a=-1,另一个因式为.点拨:这种方法称为待定系数法,是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.【易错例题分析】例9 分解因式:.错解:∵ -10=5×(-2),5=1×5,5×5+1×(-2)=23,∴ 原式=(5ab+5y)(-2ab+5y).警示:错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解:∵ 5=1×5,-10=5×(-2),5×5+1×(-2)=23.∴ 原式=(ab+5y)(5ab-2y).【同步练习】一、选择题1.如果,那么p等于 ( )A.ab B.a+b C.-ab D.-(a+b)2.如果,则b为 ( )A.5
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