2013-2014高等数学A上期中考试题参考答案

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中国传媒大学2013—2014学年第 一 学期高等数学A(上)期中考试试卷参考解答及评分标准一、填空题(将正确答案填在横线上,本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1.曲线的斜渐近线为。2.设,则。3.设方程确定了函数,则函数微分或。4.曲线在点处的曲率是。二、选择题(在四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1.,点是的( B ) 可去间断点; 跳跃间断点; 无穷间断点; 连续点。2.设在上都可导,且,则必有( C ); ; 对任意有; 单调增加。3.已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是( A ); ; ; 。4.设在点的某个邻域内有定义,则在可导的一个充分条件是( D )存在; 存在;存在; 存在。5.若处处可导,则( D ); ; ; 。三、解答下列各题(本大题共4小题,每小题8分,总计32分)1.(本小题8分)讨论的连续性,若有间断点指出其类型。解: 4分,,所以为跳跃间断点; 6分 ,,所以为跳跃间断点,在上连续。 8分2.(本小题8分)试判断:当时,是的多少阶无穷小?解: 4分,故 8分3.(本小题8分)求极限:解: 4分 8分4.(本小题8分)求极限:解:当时,, 3分 6分 8分四、解答下列各题(本大题共4小题,每小题8分,总计32分)1.(本小题8分)试求出所确定的曲线在处的切线方程。解:方程组中每个方程两边对求导,解得 4分当时,,,,切线方程为 8分2.(本小题8分)证明:当时,。证明:令, 2分 6分又,故当时有,即 8分3.(本小题8分)设在处有极值,试确定,并求出的所有极值点及拐点。解: (1)又 (2)联立(1)(2)解得,此时 4分由,解得;由,解得,故为极小值点,,故为极大值点; 6分 当时, ,当时, ,故点为曲线的拐点。 8分4.(本小题8分)设在上连续,在内可导,且,求证:存在使。证明:令, 3分显然在上连续,在内可导, 6分由罗尔定理,至少有一点,使,即 8分第 5 页 共 5 页
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