知识点31 有关中值定理证明题的典型实例

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1、学科:高等数学第三章微分中值定理及导数的应用知识点31有关中值定理证明题的典型实例相关概念、公式定理或结论●定义**●定理**●结论**考频:5知识点31配套习题说明:本知识点的精妙解析思路均来自同济大学出版社出版的《考研高等数学专题全讲》,以下简称《高数专题》.大家同时也可以结合知识点29的方法来分析.例31.1(难度系数0.4)设f(x)在a,b连续,在(a,b)可导,又ba0,求证:存在,(a,b),使得bln()f()f()a.babln()解析:根据“不同的中值分开”的原则,待证结论f()f()a等价于baf()lnblnaf(

2、),由于有两个中值,所以需要用两次中值定理,结合拉格朗1ba日中值定理和柯西中值定理来证明即可.f(b)f(a)f(b)f(a)lnblna证明:由于,等式两边在a,b上分别应用拉balnblnaba格朗日中值定理和柯西中值定理,可知分别存在,(a,b),使得f(b)f(a)f(b)f(a)f()f(),,balnblna1bln()结合两式,可得f()f()a.ba妙招:通过待证式分析需要用哪种中值定理及用的次数待证式若有两个不同中值,则需要用两次中值定理;每次用中值定理只能求一次导,因此,可以从待证式中导数的阶数判

3、断用中值定理的次数,……所有这些从蛛丝马迹寻找突破口的方法颇像福尔摩斯探案,具体请见《高数专题》.例31.2(难度系数0.4,2005年考研数学一真题)已知f(x)在[0,1]内连续在(0,1)内可导,f(0)0,f(1)1,证明:(1)存在(0,1),使得f()1;(2)存在不同的两点,(0,1),使得f()f()1.解析:(1)由f()1来构造辅助函数g(x)f(x)x1,利用根的存在性定理即零点性即证.(2)由于有两个中值,提示要用两次中值定理(参见《高数专题》),结合(1)的结论,分别在(0,),(,1)上应用拉格朗日定理即证.证

4、明:(1)令g(x)f(x)x1,显然其在闭区间[0,1]上连续,并且g(0)1,g(1)1,由根的存在性定理知,存在(0,1),使得g()f()10,即f()1.(2)利用(1)中存在的(0,1),在(0,),(,1)上分别应用拉格朗日中值定理有f()(0)f()f(0),(0,),f()(1)f(1)f(),(,1),1因为f()1,f(0)0,f(1)1,从而f(),f(),则1f()f()1.例31.3(难度系数0.8,跨知识点53)设f(x)在[0

5、,1]上连续,g(x)在[0,1]上有一阶连续导数,g(x)0,且满足11f(x)dx0,f(x)g(x)dx0,证明:(1)f(x)在(0,1)内有零点;(2)若f(x)在(0,1)00内可导,则f(x)在(0,1)内有零点.解析:(1)由积分的几何意义可得f(x)在[0,1]上变号,再利用介值定理可证.(2)为了利用罗尔定理,还需要在(0,1)内另外找一个零点,可用反证法证明;也可x以通过辅助函数F(x)f(t)dt(0x1)的分析,利用介值定理和罗尔定理得到0f()f()0,再使用罗尔定理即证.121证明:(1)由f(x)dx0,得f(x)在[0,1

6、]上变号,由介值定理,存在(0,1),10使得f()0,即f(x)在(0,1)内有零点.1(2)证法一:首先证明f(x)在(0,1)内还有另外一个零点,用反证法.设是f(x)在(0,1)内唯一的一个零点,则f(x)在的两侧保持符号不变.11因为g(x)0,不妨设g(x)0,则g(x)为单调增函数,于是[g(x)g()]f(x)1在(0,)与(,1)上有相同的符号.111若[g(x)g()]f(x)0,x(0,1),则[g(x)g()]f(x)dx0;1101若[g(x)g()]f(x)0,x(0,1),则[g(x)g()]f(x)

7、dx0.110111又[g(x)g()]f(x)dxf(x)g(x)dxg()f(x)dx0,得到矛盾,所以01010f(x)在(0,1)内还存在一个异于的零点(0,1),使得f()0.122因为f(x)在(0,1)内可导,由罗尔中值定理,存在(,)(0,1),使得12f()0.x证法二:设F(x)f(t)dt(0x1),则有F(0)F(1)0,F(x)f(x).011

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