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《数学反演理论基础研究—偏微分方程反问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、偏微分方程反问题的数值解法教案哈尔滨工业大学理学院数学系陈勇2007.8参考书目：不适定问题的正则化方法及应用，刘继军著，科学出版社，2005.9反问题的数值解法，肖庭延，于慎根，王彦飞著，科学出版社，2003.9反演问题的计算方法及其应用，王彦飞著，高等教育出版社，2007.1Inverseproblemsforpartialdifferentialequations,VictorIsakov,Springer,1998Anintroductiontothemathematicaltheoryofinverseproblems,AndreasKirsch,Springer
2、,1996第一章绪论近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法如广义脉冲谱方法（GPST），最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。1.1反问题的若干例子背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的Cauchy问题时开始研究反问题的不适定性。20世纪40年代，Tikhonov，提出了变分
3、正则化方法，《Solutionsofill-posedproblems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》（王秉忱，1979，地质出版社）)，Landweber和Fridman，迭代正则化方法。Morozov和Groetsch把不适定问题的正则化放在抽象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。例1.1加减法互为逆运算，由此引发的填空问题。例1.2积分和微分互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的结果这样的一种因果关系思维方式。原因=〉结果输入+系统=输出因果关系是辩证的，
4、相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。原因〈=结果+系统=输出也就是说这两种思维方式是相对的，如果我们把“由因及果”所考虑的问题称为正问题，那么“由果索因”所考虑的问题就是反问题。例1.3多项式函数nn−1正问题：给定多项式Pxcxcx()=++++"cxc，求在n+1个已知点nnn−110--1x,,,xx"处的函数值y,,,yy"。01n01n反问题：Lagrange插值问题：给定n+1组值(,),0,1,,xyi="n，要求确定n次多项式iiPx()的系数c，使得其满足插值条件：Px()=
5、yi,0,1,,="n。ninii例子可以看出，反问题是相对于正问题而言的，在这个例子中，如果我们把Lagrange插值问题称为正问题，那么求多项式函数值的问题就是反问题了。例1.4逆热传导问题一维热传导方程的初值问题2⎧∂∂uu21⎪=+af(,),xtx∈R,0t>2⎨∂∂tx⎪ux=∈φ(),xR1⎩t=0其中，a为热传导系数，利用Fourier变换及其逆变换可得221(+∞⎧⎫−−xfξξ)1t+∞(,τ)⎧⎫−−(xξ)uxt(,)=+φ()expξξ⎨⎬dexp⎨⎬ddξτ22atππ∫∫−∞⎩⎭44at22at0∫−∞t−τ⎩⎭at（1）若fxt(,)0≡，则
6、有21(+∞⎧−−xξ)⎫uxt(,)=φ()expξξ⎨⎬d2atπ∫−∞4at2⎩⎭正问题：已知φ()x和a通过上式求温度分布uxt(,)。反问题：已知某一时刻T时的温度分布uxT(,):=ux()和a，求初始时刻温度分布φ()x，T即求解下述第一类Fredholm积分方程21(+∞⎧⎫−−xξ)φξ()exp⎨⎬duxξ=()∫−∞2T2aTπ⎩⎭4aT（2）若φ()0x≡，但f(,)xt=zt()()χx，则有D21(t+∞zxτξ)(⎧⎫−−)uxt(,)=exp⎨⎬ddξτ2atπτ∫∫0−∞−⎩⎭4()at2−τ1其中χ()x为示性函数，D为R中的有届区域。D
7、正问题：已知zt()，利用上式求未来任意时刻的温度分布uxt(,)反问题：已知utgt(0,)=()，求zt()，即第一类Volterra积分方程--2t∫Ht()−τττzd()=>gt(),0t021⎧⎫−ξ的解，其中Ht()=exp⎨⎬dξ2atπ∫D4at2⎩⎭例1.5Abel积分方程：物理中的反问题设有一个质量为m的质点在重力mg的作用下，从铅直平面中高度为h>0处的点p，1沿着某一曲线Γ无摩擦地滑到高度为h=0处的点p。0正问题：当曲线Γ给定后，决定从该质点p滑到p所需要的时间T.10反问题：假定已通过
