数学北师大版一年级下册平方差公式

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平方差公式乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果,由于在数学运算中经常用到,就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位,是初中阶段的第一个公式,也是最基本、用途最广泛的公式之一。二、教学目标分析(一)知识目标经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差公式的结构特征;(二)能力目标能运用公式进行简单的运算,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力;(三)情感目标让学生经历“特殊—一般—特殊”(即:特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题)这一数学活动过程,积累数学活动的经验,同时体会数学的简洁美和数形结合的思想方法。培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。三、教学重点、难点重点:经历探索并归纳平方差公式的过程,并能熟练运用公式进行简单的运算。难点:利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式,从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程,发展观察、归纳、概括等能力。四、教法、学法分析(一)教法分析1、让学生了解平方差公式产生的背景,理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中,引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义,并在练习中,对发生的错误做具体分析,加深学生对公式的理解。2、通过自主探究与合作交流的学习方式,让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程,发挥学生的主体作用,增强学生学数学、用数学的兴趣.同时,让学生在公式的运用中积累解题的经验,体会成功的喜悦。(二)学法分析学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法,但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解.因此,教学中引导学生分析公式的结构特征,并运用变式训练揭示公式的本质特征,以加深学生对公式的理解。五、教学过程设计 教 学 环节教  学  设  计设  计  意  图(一)创设情境,导入课题问题1:美丽壮观的城市广场,是人们休闲旅游的地方,已经成为现代化城市的一道风景线。某城市广场呈长方形,长为803米,宽797米。你能用简便的方法计算出它的面积吗?教学时,可先让学生按算式803×797,发现这种算法十分繁琐。然后告诉学生学过本章相关内容后,将有简单的笔算方法,以激发学生学习本章的兴趣。 (二)探索新知,尝试发现问题2:时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长(m+1)米,宽为(m-1)米的长方形花坛。你会计算改造后的花坛的面积吗?计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(m+1)(m-1)=         ;(2)(5+x)(5-x)=         ;(3) =          ;(4)(2x+1)(2x-1)=         .问题3:依照以上四道题的计算回答下列问题:①    式子的左边具有什么共同特征?②它们的结果有什么特征?③能不能用字母表示你的发现? 通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算,既复习了旧知,又为下面学习平方差公式作了铺垫,让学生感受从一般到特殊的认识规律,引出乘法公式----平方差公式。根据“最近发展区”理论,在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式,这样更加自然、合理。先让学生观察后独立思考,再进行小组内交流讨论,由学生代表发言,全班统一认识。 (三)总结归纳,发现新知 问题4:你能用文字语言表示所发现的规律吗?师生活动:教师提问,学生通过自主探究、合作交流,发现规律:式子左边是两个数的和与这两个数的差的积,右边是这两个数的平方差,即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.并猜想出: 提供充分的时间,鼓励学生用自己的语言表述到公式表示的过过渡,教师巡回引导,并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力。  (四)数形结合,几何说理  问题5:在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形(如图).你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗?  提示:a2-b2与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积。                                                                                       通过学生小组合作,完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想,让学生体会到代数与几何的内在联系.引导学生学会从多角度、多方面来思考问题.  对于任意的a、b,由学生运用多项式乘法计算,验证其公式的正确性.即:  (五)剖析公式,发现本质在平方差公式 中,其结构特征为: ①左边是两个二项式相乘,其中“a与a”是相同项,“b与-b”是相反项;右边是二项式,相同项与相反项的平方差,即 ;     ②让学生说明以上四个算式中,哪些式子相当于公式中的a和b,明确公式中a和b的广泛含义,归纳得出:a和b可能代表数或式.   通过观察平方差公式,体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式.在认清公式的结构特征的基础上,进一步剖析a、b的广泛含义,抓住了概念的核心,使学生在公式的运用中能得心应手,起到事半功倍的效果。  (六)巩固运用,内化新知问题6:判断下列算式能否运用平方差公式计算:(1)(2x+3a)(2x–3b);(2) ;(3)(-m+n)(m-n);          (4) ;问题7:利用平方差公式计算:(1)(3x +2y)(3x-2y);           (2)(-7+2m2)(-7-2m2). 解:(1)(3x +2y)(3x –2y)           =(3x)2-(2y)2  = 9x 2-4y2     (2)(-7+2m2)(-7-2m2)    =(-7)2-(2m2)2=49-4m4学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉平方差公式的本质特征,掌握运用平方差公式必须具备的条件.巩固平方差公式,进一步体会字母a、b可以是数,也可以是式,加深对字母含义广泛性的理解。观察体会与公式的对应关系:(3x +2y)(3x –2y)=(3x)2-(2y)2 解决书写操作层面问题.可提议用不同方
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