2014年湖南高考数学(理)卷文档版(有答案)

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足的复数A．B．C．D．2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，学科网当选取简单随机抽样、zxxk系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是则A．B．C．D．3．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且＝A．－3B．－1C．1D．34．的展开式中的系数是zxxkA．－20B．－5C．5D．205．已知命题

2、在命题①②③④中，真命题是A．①③B．①④C．②③D．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于A．B．C．D．7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．1B．2C．3D．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A．B．C．D．9．已知函数则函数的图象的一条对称轴是A．B．C．D．10．已知函数zxxk的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空

3、题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线交于两点，则，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是12．如图3，已知是的两条弦，则的半径等于13．若关于的不等式的解集为，则（二）必做题（14－16题）14．若变量满足约束条件，且的最小值为－6，则15．如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过16．在平面直角坐标系中，为原点，

4、动点满足的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（I）若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图5，在平面四边形中，（I）求的值；（II）若求zxxk的长

5、．19．（本小题满分12分）如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．（I）证明：（II）若的余弦值．20．（本小题满分13分）已知数列{}满足（I）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；（II）若，且{}是递增数列，{}学科网是递减数列，zxxk求数列{}的通项公式．21．（本小题满分13分）如图7，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且（I）求的方程；（II）过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．22．（本小题满分13

6、分）已知常数（I）讨论在区间上的单调性；（II）若存在学科网两个极值点且求的zxxk取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A10、B二、填空题11、12、13、14、15、16、三、解答题17、（本小题满分12份）解：（I）记E=｛甲组研发新产品成功｝，F=｛乙组研发新产品成功｝.由题设知故所求的概率为（Ⅱ）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100,120,220.因,,,故所求的分布为数学期望

7、为+++=18、（本小题满分12份）解：（I）如图5，在中，由余弦定理，得故由题设知，于是====在中，由正弦定理，BC=19、（本小题满分12份）解：（I）如图（a），因为四边形为矩形，所以.同理。因为∥，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，∥。故底面ABCD。（Ⅱ）解法I如图（a），过作于H，连接.由（I）知，底面ABCD，所以底面，于是.又因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而，所以，于是，进而。故是二面角的平面角。不妨设AB=2。因为，所以，。在中，易知。而，于是。故。即二

8、面角的余弦值为。解法2因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC,两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，OB,OC,所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，，.易知，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。设二面角的大小为，易知是锐角，