2014届高考数学一轮必备考情分析学案126《离散型随机

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1、12.6离散型随机变量的均值与方差考情分析本节是高考必考内容，可以在选择填空中考查正态分布（主要考查正态曲线特点、性质的应用，属容易题）还可以在解答题中与排列组合、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率，分布列、期望、方差等知识综合考查（属中档题）基础知识1、离散型随机变量的均值与方差：一般的，若随机变量X的分布列为X[来源:学.科.网]P（1）均值：为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）方差：为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离度，其算术平方根为随机变量X的标准差2、均值与方差

2、的性质：（1）（2）（a,b为常数）3、两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若X服从两点分布，则（2）若，则注意事项1.在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．2.(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.[来源:Z,xx,k.Com]3.(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX

3、1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)题型一　离散型随机变量的均值和方差【例1】已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝(　　)A.2　　B.C.　　D.答案：D解析：取到的白球个数ξ可能的取值为1,2,3.所以P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.因此取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝＋2×＋3×＝＝.【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车

4、租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解　(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝

5、.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝2)＝×＋×＝；P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；P(ξ＝6)＝×＋×＝；P(ξ＝8)＝×＝.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.题型二　均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.解　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.E(X2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.D(X

6、)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，＝＝.【变式2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解　(1)X的分布列为X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×

7、＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．题型三　均值与方差的实际应用【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准

8、B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1