～第3讲　数值运算基础

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1、第三讲数值运算基础——matlab具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位数值运算的功能多项式运算线性方程组数值统计线性插值和拟合matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0可用行向量p=[anan-1……a1a0]表示poly——产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1一、多项式运算例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多项式p(x)=x3-6x

2、2-72x-27的matlab描述方法p1=poly2sym(p,‘x’)—显示数学多项式的形式p1=x^3–6*x^2–72*x–272.多项式求值有两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，前者是代数多项式求值，后者是矩阵多项式求值.(1)polyval函数:y=polyval(p,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例3-1已知多项式x^4+8x^3-10，分别取x=1.2和一个2×2矩阵为自变量计算它的值.eg3-1-22.多项式求值(2)polyvam函数:

3、y=polyvam(p,x)本函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值.设A为方阵，P代表多项式x^3-5x^2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))例3-2仍以多项式x^4+8x^3-10为例，取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值.eg3-1-23.roots——求多项式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.

4、00-72.00-27.00%a的特征多项式系数r=roots(p)r=12.12-5.73-0.39——显然r是矩阵a的特征值当然我们可用poly命令将根返回为多项式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。根多项式例3-3用求特征值的方法解方程3x5-7x4+5x2+2x-18=0eg3-3命令如下：p=[3-7052-18];A=compan(p)%p的伴随矩阵x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接求多项式p的零点即方程p

5、(x)=0的解多项式的根多项式系数构成的伴随矩阵的特征值4.conv多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2sym(c)p=4*x^4+13*x^3+28*x^2+27*x+185.deconv多项式除运算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.0

6、06.00[d,r]=deconv(c,a)余数c除a后的整数6.多项式微积分命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多项式a,b乘积的微分[p,q]=polyder(a,b)：求a/b的微分,分子存入p,分母存入qpolyint(p)：求多项式p的积分例：a=[12345];poly2sym(a)ans=x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+5b=polyder(a);poly2sym(b)ans=4*x^3+6*x^2+6*x+4c=polyint(b);poly2sym(c)ans=x^4+2*x^3+3*

7、x^2+4*x二、代数方程组求解对于方程组ax=b，a为am×n矩阵，有三种情况：当m=n时，此方程称为“恰定”方程组当m>n时，此方程称为“超定”方程组当m

8、x2=82x1+3x2=132.超定方程组的解方程ax=b,m>n时此时不存在唯一解方程解(a'a)x=a'bx=(a'a)-1a'b——求逆法x=a