上海市2016中考数学压轴题解题策略：相切的存在性问题

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1、中考数学压轴题解题策略相切的存在性问题解题策略2015年9月25日星期五专题攻略一、鬪与鬪的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形.解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、厂、第二一步分类列方程，第三步解方程并验根.第一步在罗列三要素R、厂、d的过程屮，确定的要素罗列出来以麻，不确定的要素要用含冇无的式子表示.第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况.二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形.解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：7?和〃，第二步列方程，第三步解方

2、程并验根.笫一步.在罗列两要素/?和d的过程中，确定的要素罗列出來以后，不确定的要素要川含冇兀的式了表示.第二步列方程，就是根据直线与関相切时d=R列方程.例题解析例❶如图1・1,已知抛物线与*轴相交于a、B两点.（1）有一半径为厂的OP，且圆心P在抛物线上运动，当OP与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的。P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值吋，QPUy轴相离、相交？图1-1【解析】（1）如果OP与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等.画直线）,=兀和『=一儿四个圆心P就都找

3、到了，如图1・2,图1・3.其实求半径厂，只需一个图就可以了，OP的半径为r=[x=^-或卫二L22（2）要判断OP与y轴相离、相交,先找到临界位置OP与y轴相切，此时兀=1或兀=一1・如图14可以想象，当圆心P在x轴下方吋，0P与y轴相交，此吋一1W*o.图1-4例❷如图2・1,AABC1!1,BC=AC=5,4B=8,CD为AB边上的高.如图2・1,A在原点处，点3在y轴的正半轴上，点C在第一象限.若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度

4、运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△A3C在平面上滑动.如图2・2,设运动的时间为f秒，当3到达原点时停止运动.当以点C为圆心、CA为半径的圆与朋标轴相切时，求/的值.【解析】这道题讲一下血图策略，答案就在图形中・•(1)如图2・3,infix轴，取点A；作CA丄兀轴，月.CA=5；以CA为半径画G>C,以A为圆心，8为半径画弧，产生点B.如图2-4,过点Bimiy轴.在RtAAOBl1,已知AB和Z1,求得OA=t=4.8.求得OA=t=6A.x例❸如图3・1,A(—5,0),B(—3,0),C(0,3)

5、,四边形OADC是矩形•点P从点2(4,0)出发，沿兀轴向左以每秒1个单位一长的速度运动，以PC为半径的OP随点P的运动而变化,当OP与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求运动时间t的值.・图3-1【解析】我们先根据“d=T讲解题策略.如图3-2,动点P到切线BC的所冇垂线段中，哪条等于半径PC?此时P(3,0),t=.如图3・3,动点P到■切线DC的所有垂线段中,半径PC是哪条？此时m0),1=4.如图34动点P到切线AD的距离就是B4,与半径PC相等，点P在AC的垂直平分线匕此时在RtAPC

6、O+，由勾股定理解得AP=3.6,所以QP=5・4,r=5.4.图3-2图3-3图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中.如图3・5,经过切点C画切线BC的垂线，与兀轴的交点就是P(3,0).如图3・6,经过切点C画切线DC的垂线，与兀轴的交点就是P(0,0).如图3-7,已知圆上两点A和C,画AC的垂直平分线，与x轴的交点就是P.例❹如图4・1,已知抛物线y=nu2+bx+c(m>0)经过人(1,0)、3(—3,0)两点，顶点为P,My轴交于点Q・OC的直径为A、B,当加

7、为何值时，直线PD-U0C相切？图4J【解析】由y=m(x-l)(x+3),可得D(0~3m)fP(_l,_4加).G)C的半径为2,切线PD随加变化.如图4-2,先假设切点为E,那么ZCPE=ZPDF.由sinZCPE=sinZPDF,得怜影解方程补侖’得心孚所以当"丰时,直线"与。C相切.事实上，此时直线PD与G»C相切于点D,ZPC£>=30°(如图4・3).例❺如图4sinZBCD=—，5BC=18,点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位

8、的速度移动，设运动吋间为f秒.如果OP的半径为6,OQ的半径为4,在移动的过程中，试探索：/为何值时OP与OQ外离、外切、相交？【解析】对于OP,R=6；对于OQ,r=4.圆心距d=PQ怎么表示呢？如图5-2,PQ2=QH2+PH2=S2+(2-5t)2.当两圆外切时，由d=/?+厂=10,得护=1(卩.解方程82+(12-.5r)2=102,得［=1.2(如图5-3),或/=3.6(如图5-4).现在，我们想