3、,则棱BD的长为一【答案】4迈【解析】取AC的中点,连结BE,DE由主视图可知BE丄丄DE.DC丄ABC且DC=4,BE=2迟,AE=EC=2.所以BC=yjBE2EC2=7(2a/3)2+22=V16=4,即BD=VBC2+DC2=a/42+42=^32=4^2。0J(左)ttE□俯现图【答案】54该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4,16.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为c,底而梯形的上底为4,下底为5,腰CD=yj¥+l=廊,所以梯形的面积为S=(4+')x3二空,所以该几何体的体积为2x4=54。22217.
4、(本小题满分12分)在边长为5的菱形必6中,AC=8.现沿对角线〃〃把△肋〃折起,9折起后使的余弦值为亦.(1)求证:平而血於丄平面CBD;(2若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积。【答案】(1)证明在菱形/比刀中,记仏BD的交点为0,初=5,:.0A=.01)=3,翻折后变成三棱锥A—BCD在厶ACD•
5、^,AC=”+C疗一2/ID・CD・cosAADC9=25+25-2X5X5X^=32,在疋中,6^+^=32=^,・・・Z/0Q=9O°,即AOLOQ又AO1BD,OCCBD=0,:.AOL平面BCD,又AOU平面ABD,:.平
6、面川劝丄平面CBD.⑵•••M是A3的中点,所以A,3到平面MCD的距离相等,••-^A-MCD~Vr_mcd~^A-BCD~MiCD,人。=818•本小题共13分)如图,在菱形ABCD中,丄平ABCD,且四边形ADNM是平行四边形.(I)求证:AC丄BN;(II)当点E在AB的什么位置吋,使得AN//平面MEC,并加以证明.【答案】解:(I)连结BD,则AC丄BD.由已知DN丄平面ABCD,因为DN*DB=D,所以AC丄平面NDB.又因为B/Vu平面NDB,所以AC丄BN.(II)当E为AB的中点吋,有AN〃平血MEC.CM与BN交于F,
7、连结EF.由已知可得四边形BCNM是平行四边形,F是BV的屮点,因为E是AB的中点,所以AN//EF.10分又平面,EFuMEC平面,AN(ZMEC所以AN//平而MEC.13分19.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-^C,中,ZB4C=90。,AB=AC=AA]f且E是BC中点.(T)求证:A.BH平面AEC};(II)求证:坊C丄平面AEC}.【答案】解:(I)连接£C交AC】于点O,连接EO因为ACC/,为正方形,所以O为AC屮点又E为CB中点,所以EO为^BC的中位线,所以EO//A.B3分又EOu平面AEC「4B(z平面
8、AEG所以A.BH平面AEG6分(II)因为AB=AC,又E为CB中点,所以AE丄BC8分又因为在直三棱柱ABC-^Q中,3色丄底面ABC,又A£u底面ABC,所以AE丄BB、,又因为BBfBC=B,所以AE丄平而BCC}B},又B&u平面BCCQ,所以AE丄QC10分&在矩形BCC、B中,tanZCB^,=tanZEC,C=—,所以ZC^C,=Z£C,C,4^所以ZCB.C,+Z£C,B=9O即丄EC;12分又AEREG=E,所以fi.Cl平面BCCb14分20•木小题共14分)如图1,在RtAABC中,ZC=90°,BC=3,AC=
9、6.D、E分另9是AC、AB±的点,且DE//BC,将AADE沿DE折起到AXDE的位置,使人£>丄CD,如图2.(I)求证:BC//平而£DE;(II)求证:BC丄平面ADC